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In diesen Erklärungen erfährst du, welche Dreiecke es gibt, welche Eigenschaften sie haben und welche speziellen Linien im Dreieck existieren. Weiter erfährst du, wie du den Umfang und den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen kannst. Allgemeines Dreieck und seine Winkelsumme Jedes Dreieck hat drei Eckpunkte, drei Seiten und drei Winkel. Für die Beschriftung der Eckpunkte eines Dreiecks verwendest du große Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge (zum Beispiel A, B und C). Die Beschriftung erfolgt üblicherweise gegen den Uhrzeigersinn. Die Seiten werden mit kleinen Buchstaben (zum Beispiel a, b und c) beschriftet. Dabei liegt die Seite a dem Eckpunkt A gegenüber und verbindet die Punkte B und C. Brahmagupta, indischer Mathematiker, Stellenwertsystem - Spektrum der Wissenschaft. Nach dem gleichen Prinzip werden die beiden anderen Seiten beschriftet. Für Winkel werden kleine griechische Buchstaben verwendet (zum Beispiel α, β und γ). Dabei ist α der Winkel am Eckpunkt A, β liegt am Eckpunkt B und γ am Eckpunkt Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180 °. Winkelsumme: α + β + γ = 180 ° Winkelsumme im Dreieck Dreiecksarten und ihre Eigenschaften Es gibt verschiedene Dreiecksarten.
Kapitel beginnt mit astronomischen Berechnungen wie zum Beispiel die Bestimmung der Anzahl der Tage zwischen zwei Zeitpunkten, an denen ein Planet an der gleichen Stelle am Himmel zu sehen ist. Dann folgen – zum ersten Mal in der Mathematikgeschichte – Rechenregeln für positive und negative Zahlen sowie für die Zahl Null. Null wird also als Zahl angesehen, ist nicht nur Platzhalter für eine leere Stelle. Brahmagupta bezeichnet positive Zahlen als Vermögen, negative Zahlen als Schuld. Beispielsweise findet man: Eine Schuld minus null ist eine Schuld; ein Vermögen minus null ist ein Vermögen. Null minus null ist null. Null minus eine Schuld ist ein Vermögen. Null minus ein Vermögen ist eine Schuld. Das Produkt (der Quotient) aus einer Schuld und einem Vermögen ist eine Schuld, von zwei Schuldbeträgen oder von zwei Vermögen ein Vermögen. Höhe im gleichschenkligen dreieck. Das Produkt von null mit einem Vermögen, einer Schuld oder mit null ist null. Zwar gibt er auch die falsche Regel Null dividiert durch null ist null an, notiert aber ansonsten für die Division durch null, dass man null in den Nenner eines Bruches schreiben darf – allerdings ohne Erläuterung, was das bedeutet.
Diese Gerade heißt Symmetrieachse. Gleichschenkliges Dreieck Gleichseitiges Dreieck Spezielle Linien im Dreieck Im Dreieck gibt es spezielle Linien, auch Transversalen genannt, die den Eckpunkten oder Seiten des Dreiecks zugeordnet sind:- Höhe- Mittelsenkrechte- Seitenhalbierende- WinkelhalbierendeJede Höhe eines Dreiecks ist eine Strecke, geht durch einen Eckpunkt und steht senkrecht auf der gegenüberliegenden Dreiecksseite oder deren Verlängerung. Höhen sind wichtig für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks. Jede Mittelsenkrechte eines Dreiecks ist eine Gerade und verläuft senkrecht durch den Mittelpunkt einer der Dreiecksseiten. Eigenschaften von Dreiecken - bettermarks. Jede Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Strecke und verbindet einen Eckpunkt des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Jede Winkelhalbierende eines Dreiecks ist eine Halbgerade und teilt den dazugehörigen Winkel in zwei gleich große Winkel. Höhen in einem stumpfwinkligen Dreieck Mittelsenkrechten in einem stumpfwinkligen Dreieck Spezielle Linien im gleichseitigen Dreieck Umfang und Flächeninhalt eines Dreiecks Den Umfang U eines Dreiecks berechnest du, indem du alle Seitenlängen addierst.
Im Jahr 665 folgt mit Khandakhādyaka eine weitere Abhandlung, die sich vor allem mit astronomischen Rechnungen beschäftigt. Brahmagupta ist inzwischen als Leiter der astronomischen Beobachtungsstation in Ujjain tätig. Diese im heutigen Bundestaat Madhya Pradesh gelegene Stadt gehört zu den sieben heiligen Städten Indiens. Höhe im gleichschenkliges dreieck e. Nur zwei der insgesamt 25 Kapitel von Brāhmasphutasiddhānta beschäftigen sich mit mathematischen Fragestellungen, nämlich Kapitel 12 ( Ganitādhyāya, von gana = zählen) und Kapitel 18 ( Kuttakādhyāya, von kuttaka = wörtlich: zerkleinern). Trotz etlicher, zum Teil sehr kritischer Anmerkungen zum 130 Jahre zuvor erschienenen Werk seines Vorgängers Āryabhata ist es wohl kein Zufall, sondern eher ein Zeichen der Verehrung, dass das 12. Kapitel genau doppelt so viele Verse enthält wie das entsprechende ganita -Kapitel der Āryabhatīya. Hinsichtlich der Rechenverfahren und der Lösung verschiedener Anwendungsaufgaben findet man bei Brahmagupta allerdings zunächst kaum mehr als das, was Āryabhata zusammengestellt hatte.
\] In gleichschenkligen Trapezen gilt: \(e=\sqrt{a\cdot c+ b \cdot d}\) (Folgerung aus dem Satz des PTOLEMÄUS), \(h=\sqrt{e^2 – \left( \frac{a+c}{2}\right)^2}\), außerdem für den Umkreisradius \(r=\frac{b\cdot e}{2h}\). Brahmagupta gibt Formeln für die Länge der Diagonalen \(e\), \(f\) in beliebigen Sehnenvierecken an: \(\frac{e}{f}=\frac{ad+bc}{ab+cd}\), wobei \(e=\sqrt{\frac{(ad+bc)\cdot (ac+bd)}{ab+cd}}\) und \(f=\sqrt{\frac{(ab+cd)\cdot (ac+bd)}{ad+bc}}\), und für Sehnenvierecke mit zueinander orthogonalen Diagonalen (sogenannte Brahmagupta-Vierecke) formuliert er den Satz: Eine Gerade, die durch den Schnittpunkt der beiden Diagonalen verläuft und eine der Seiten senkrecht schneidet, halbiert die gegenüberliegende Viereckseite. Höhe im gleichschenkliges dreieck . In den Versen 33 bis 39 beschäftigt sich Brahmagupta mit dem Problem, Dreiecke, symmetrische Trapeze und Sehnenvierecke zu finden, deren Seitenlängen und Flächeninhalte rational sind. Beispielsweise ergeben sich für \(u\), \(v\), \(w \in \mathbb{N}\) mit \(v\), \(w < u\) solche rationalen Dreiecke mit \[ a= \frac{1}{2}\cdot \frac{u^2+v^2}{v};\quad b= \frac{1}{2}\cdot \frac{u^2+w^2}{w}; \quad c= \frac{1}{2}\cdot \frac{u^2-v^2}{v} +\frac{1}{2}\cdot \frac{u^2-w^2}{w}\] Das 18.