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Eine Funktion wird als gebrochen rationale Funktion bezeichnet, wenn sich sowohl im Zähler als auch im Nenner eine ganzrationale Funktion befindet: Merke Hier klicken zum Ausklappen gebrochenrationale Funktion: $f(x) = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+... + a_1x + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} +... 1.2.1 Nullstellen und Polstellen | mathelike. + b_1x + b_0}$ Beispiel Hier klicken zum Ausklappen gebrochenrationale Funktion: $y = \frac { x^4 + x^3 + x - 1}{x^3 - x^2 - 2}$ Asymptote n Eine Asymptote (altgr. asymptotos = nicht übereinstimmend) ist eine "einfache" Funktion, zumeist eine Gerade, an die sich der Graph einer Funktion mit zunehmendem Abstand vom Koordinatenursprung annähert, ohne dass sich beide in ihrem Verlauf irgendwo berühren. Nähert sich der Graph einer Funktion einer Gerade parallel zur $y$-Achse an, so spricht man von einer senkrechten Asymptote. Die waagerechte Asymptote ist eine der $x$-Achse parallelen Gerade für $x \to \pm \infty$. Nähert sich der Graph einer Funktion einer Gerade an, die zu keiner der Achsen des Koordinatensystems parallel verläuft, so liegt eine schiefe Asymptote vor.
8em] &= \frac{x(x + 1)}{x(x^{2} + 2x - 8)} \end{align*}\] Um den Nennerterm \(x^{2} + 2x - 8\) in seine Linearfaktoren zu zerlegen, ermittelt man zunächst dessen Nullstellen, d. h. die Lösungen der quadratischen Gleichung \(x^{2} + 2x - 8 = 0\) (vgl. 2 Quadratische Funktion, Nullstellen einer quadratischen Funktion). Werbung \[\begin{align*}x_{1, 2} &= \frac{-2 \pm \sqrt{(-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} \\[0. 8em] &= \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} \\[0. 8em] &= \frac{-2 \pm 6}{2} \end{align*}\] \[x_{1} = -4; \; x_{2} = 2\] \[\Longrightarrow \quad x^{2} + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)\] Damit lässt sich die gebrochenrationale Funktion \(f\) in der vollständig faktorisierten Form angeben: \[f(x) = \frac{x(x + 1)}{x(x + 4)(x - 2)}\] Unter der Bedingung \(x \neq 0\) kann der Faktor \(x\) gekürzt werden. Gebrochenrationale Funktionen - Online-Kurse. Die gebrochenrationale Funktion \(f\) hat somit an der Stelle \(x = 0\) eine hebbare Definitionslücke. Der Graph der Funktion \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) ein Definitionsloch.
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Die Funktion \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 1\) eine Polstelle. \[\Longrightarrow \quad D_{f} = \mathbb R \backslash \{1\}\] Graph der gebrochenrationalen Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{x - 1}\) mit Polstelle \(x = 1\) ispiel: \[g(x) = \frac{x^{2} - 4x + 3}{x^{2} - 2x + 1} = \frac{\cancel{(x - 1)}(x - 3)}{\cancel{(x - 1)}(x - 1)} = \frac{x - 3}{x - 1}\] Die doppelte Nullstelle \(x = 1\) des Nenners der gebrochenrationalen Funktion \(g\) ist zugleich einfache Nullstelle des Zählers. Nach dem Kürzen des Faktors \((x - 1)\,, \; x \neq 1\) bleibt die nun einfache Nullstelle \(x = 1\) des Nenners erhalten. Gebrochen rationale Fkt. – Hausaufgabenweb. Die Funktion \(g\) besitzt an der Stelle \(x = 1\) eine Polstelle. \[\Longrightarrow \quad D_{f} = \mathbb R \backslash \{1\}\] Graph der gebrochenrationalen Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{x^{2} - 4x + 3}{x^{2} - 2x + 1}\) mit Polstelle \(x = 1\) 3. Beispiel: \[h(x) = \frac{x^{2} - x}{2x - 2} = \frac{x\cancel{(x - 1)}}{2\cancel{(x - 1)}} = \frac{1}{2}x\] Die einfache Nullstelle \(x = 1\) des Nenners der Funktion \(h\) ist zugleich einfache Nullstelle des Zählers.
Also ist x^3=4t^3 Jetzt dritte Wurzel x=t * \sqrt_{3}(4)
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