Einführung von Rechtecksummen zur Annhäherung des Flächeninhalts unter einem Graphen Archimedes (287 - 212) führte zur Bestimmung des Flächeninhalts eines Parabelsegments die sog. Streifenmehthode ein. Anstelle von Streifen sprechen wir heute von Rechtecksummen oder auch Obersummen und Untersummen. Mit Hilfe eines Arbeitsblatts wollen wir die Ober- und Untersummen einzeichnen und für das Intervall von (0;1) Schritt für Schritt berechnen. Hierzu wurden folgende Funktionen ausgewählt: 1. eine lineare Funktion, die Ursprungsgerade mit der Steigung 1: f(x) = x 2. die Normalparabel f(x) = x^2 Die Arbeitsblätter und Lösungsblätter befinden sich nur im Download-Bereich! Für die beiden Blätter haben wir eine interaktive Geogebra-Answendung erstellt, mit der du die Aufgaben nachvollziehen kannst. 1. Die proportionale Funktion im Intervall 0-1 Der Link zu Geogebra: Verändere mit der Maus die Anzahl n der Intervalle. Wie soll ich unter/obersumme in meinem TR eingeben? | Mathelounge. 2. Die Normalparabel im Intervall 0-1 Der Link zu Geogebra: Verändere mit der Maus die Anzahl n der Intervalle.
Herzliche Grüße, Willy
Du siehst links vier Rechteckflächen, die komplett unterhalb des Funktionsgraphen liegen. Die Summe der entsprechenden Flächeninhalte ist die sogenannte Untersumme. Die Flächenstücke rechts liegen komplett oberhalb des Funktionsgraphen. Die resultierende Fläche als Summe der Einzelflächen wird als Obersumme bezeichnet. Eigenschaften der Unter- und Obersummen Es seien $U(n)$ die Untersumme und $O(n)$ die Obersumme bei Unterteilung des Intervalls in $n$ gleich große Teilintervalle. Ober und untersumme berechnen taschenrechner den. Wenn du das betrachtete Intervall immer feiner unterteilst, nähern die Ober- sowie die Untersumme das tatsächliche Flächenstück immer genauer an. Die Folge der Untersummen ist monoton wachsend, also $U(n+1)\ge U(n)$. Die Folge der Obersummen ist monoton fallend, also $O(n+1)\le O(n)$. Für jede Unterteilung des Intervalls gilt, dass die Untersumme kleiner oder gleich der Obersumme ist: $U(n)\le O(n)$. Sei $A$ der tatsächliche Flächeninhalt, dann gilt insgesamt $U(n)\le A \le O(n)$. Darüber hinaus erhältst du: $\lim\limits_{n\to \infty} U(n)=A=\lim\limits_{n\to\infty} O(n)$ Berechnung einer Ober- und Untersumme Wir berechnen nun die Untersumme $U(4)$ sowie die Obersumme $O(4)$ für $I=[1;2]$ und die quadratische Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$.
Aber wie können wir einen genaueren Wert erreichen? Ganz einfach, wie unterteilen das Intervall in noch mehr Teile, um so die Fläche immer besser mit Rechtecken aus zustopfen. Im nachfolgenden Bild ist die Rechteckbreite nicht mehr 1 sondern nur noch $0{, }25$. Allgemein gilt nun Folgendes. Ober- und Untersumme Unterteilen wir das Intervall $[a, b]$ in $n$ gleichgroße Teile, so hat jedes Teilintervall die Länge $h = \frac{b-a}{n}$. Nun wählen wir aus jedem Teilintervall den kleinsten ( größten) $y$-Wert aus. Den zugehörigen $x$-Wert nennen wir für das $i$-te Teilintervall $x_i$. Somit ergibt sich die Untersumme ( Obersumme) zu: \[ S_n = h \cdot f(x_1) + h \cdot f(x_2) + \ldots + h \cdot f(x_n) \] Was passiert nun, wenn man immere kleinere Rechtecke nimmt? Irgendwann müssten die Flächen der Ober- und Untersumme gleich sein. Da die exakte Fläche dazwischen liegt, hat man so diese bestimmt. Mathematisch passiert dies im Unendlichen als Grenzwert, sofern dieser existiert. Ober und untersumme berechnen taschenrechner von. Fläche als gemeinsamer Grenzwert Gegeben ist eine stetige Funktion, die auf dem Intervall $[a, b]$ nur positive Werte annimmt.
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