Manchmal machen lineare Gleichungssysteme, auch wenn es nur zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten sind, richtig "Ärger", denn es gibt nicht einfach nur eine, sondern gleich unendlich viele Lösungen. Aber warum ist das so? Problem gelöst? Zwei Gleichungen und viele Lösungen - ein Problem Vielleicht ist Ihnen das schon passiert: Sie wollen ein lineares Gleichungssystem mit nur 2 Gleichungen und zwei Unbekannten (meist x und y) lösen, aber es passiert beim Rechnen etwas "Komisches", denn die beiden Gleichungen sind nach einigen Umformungen identisch. Dieser Fall tritt beispielsweise beim System 2x - 3y = 8 sowie 6y = 4x - 16 ein. Löst man hier beide Gleichungen nach x (oder y) auf, um diese nach dem Gleichsetzungsverfahren zu lösen, entpuppen sie sich als identisch. In all solchen Fällen gibt es für das lineare Gleichungssystem tatsächlich mehrere, sogar unendlich viele Lösungen. Lineare gleichungssysteme unendlich viele lösungen kursbuch. Im Beispielfall können Sie für die Unbekannte x alle reellen Zahlen einsetzen und y nach einer der beiden Gleichungen berechnen.
Beim rechnerischen Lösen der Gleichungen treffen wir auf eine sogenannte Identität, zum Beispiel: 2 = 2. Für die Lösungsmenge (die Menge aller möglichen Lösungen) schreibt man: Allgemein: L = { (x|y) | Gleichung} Beispiel: L = { (x|y) | y = x + 10} Sprich: "Zur Lösungsmenge gehören alle x und y, die die Gleichung y = x + 10 erfüllen. " Das heißt, alle x und y gehören zur Lösung, wenn man sie in die Gleichung y = x + 10 einsetzen kann. Und das klappt hier mit allen Zahlen. Betrachtung als Funktion: Die beiden Graphen liegen aufeinander und haben dadurch unendlich viele gemeinsame Schnittpunkte. Und richtig, die Zusammenhänge mit den Funktionen bzw. Schnittpunkten haben wir bereits beim Schnittpunkt von zwei Geraden behandelt. Die linearen Gleichungssysteme sind eine entsprechende Anwendung dieses Wissens. LGS mit unendlich vielen Lösungen. Hinweis: LGS lassen sich auch über andere Wege lösen, so zum Beispiel mithilfe der Cramerschen Regel oder dem Gauß-Verfahren. Für die Einführung ins Thema sind diese Verfahren jedoch nicht so gut geeignet und werden daher erst später vorgestellt.
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