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P(2|3) und Q(6|75) verläuft. Beim Eindringen von Licht in ein durchscheinendes Medium (z. B. Milchglas) nimmt die Lichtintensität je cm um 12% ab. Gib die zugehörige Funktionsgleichung an und bestimme die Lichtintensität in 10 cm Tiefe. Gib den Abnahmefaktor für eine Eindringtiefe von 4 cm an. zurück zur Aufgabenbersicht
(Denn dann gilt y = 0, also die behauptete Gleichheit). Aber multiplizieren wir für 1 ≤ i ≤ r die i-te Zeile von A mit y, so erhalten wir gerade den Koeffizienten y i. Dies zeigt: y i = 0. Also y = 0. Weiterführende Bemerkungen: Die Spalten f(1),..., f(n-r) sind "linear unabhängig", sie bilden also eine "Basis" von Lös([I r |A'], 0). Dies wird später gezeigt. Bestimmen Sie die Lösungen im Intervall [0;2pi] im bogenmaß? (Schule, Mathe, Mathematik). Wir werden später das Lösen von linearen Gleichungssystemen in der Sprache der "linearen Abbildungen" formulieren: gesucht ist das Urbild eines Vektors unter einer linearen Abbildung g: K n → K m. Und wir werden all dies auch in der Sprache der "affinen Geometrie" umformulieren. Und wir werden zumindest die Lösungsformel für homogene lineare Gleichungssysteme als Aussagen einer "Dualitätstheorie" interpretieren. Beispiel Hier als Beispiel das Gleichungssystem AX = b mit (dabei haben wir als Koeffizienten neben rationalen Zahlen auch einige Variable, nämlich a, b, c, d, x, y, z, ν, verwendet). Maple liefert die Lösungen in folgender Form: Im Rahmen der Vorlesung schreiben wir derartige Elemente in der Form: Links sieht man eine spezielle Lösung des gegebenen (inhomogenen) Gleichungssystems.
Beweis: Ist x in Lös(A, 0), so ist x+x' in Lös(A, b), denn A(x+x') = Ax + Ax' = b+0 = b. Umgekehrt gilt: ist x" in Lös(A, b), so ist x"-x' in Lös(A, 0), denn A(x"-x') = Ax" - Ax = b - b = 0. Und x" = x' + (x"-x'). (Verwendet wird hier das Distributivgesetz und die Rechenregeln für die Addition von Matrizen. ) (2) Ist P in M(m×m, K) invertierbar, so gilt Lös(A, b) = Lös(PA, Pb).. Also kann man zur Bestimmung von Lös(A, b) die Matrix [A|b] durch eine Matrix [PA|Pb] in Zeilenstufenform (oder sogar in Schubert-Normalform) ersetzen. Für eine beliebige (m×m)-Matrix P ist Lös(A, b) eine Teilmenge von Lös(PA, Pb), denn aus Ax = b folgt PAx = Pb. (Verwendet wird hier die Assoziativität der Matrizenmultiplikation. ) Ist nun P invertierbar, so gilt Lös(A, b) = Lös(P -1 PA, b), und dies ist eine Teilmenge von Lös(PA, b). (3) Sei nun [A|b] in Zeilenstufenform. Ist n+1 Pivot-Spalten-Index, so besitzt AX = b keine Lösung. Bestimmen sie die lösungsmenge des lgs. (Andernfalls gibt es Lösungen. ) Wir werden bald zeigen: Die Pivot-Positionen jeder zu A gehörenden Zeilenstufenform hängen nur von der Matrix A ab.