Bei einem schiefen Wurf ist die maximale Wurfeichweite von dem Abwurfwinkel, der Abwurfhöhe und der Anfangsgeschwindigkeit abhängig. Im Folgenden möchte ich zeigen wie man auf einen analytischen Ausdruck für den optimalen Winkel in Abhängigkeit von der Anfangsgeschwindigkeit und der Abwurfhöhe kommt. Aufgabe: Ein Stein wird mit einer Geschwindigkeit v 0 in einer Höhe h unter einem Winkel α zur Horizontalen geworfen. Schiefer wurf mit anfangshöhe und. Bestimmen Sie den Winkel α so, dass die Wurfweite maximal wird. (Für eine ähnliche Aufgabe siehe: Physik Übung 5: Schiefer Wurf) Lösung: Die Bewegungsgleichungen lauten: x(t) = v 0, x t y(t) = v 0, y t – ½gt² + h Dabei ist v 0, x = v 0 cos(α) die Anfangsgeschwindigkeit des Steins in die X-Richtung und v 0, y = v 0 sin(α) in die Y-Richtung. Damit wir die maximale Reichweite bestimmen können, muss diese Bewegungsgleichung der X-Richtung in Abhängigkeit von dem Abwurfwinkel bestimmt werden, das heißt die Flugdauer t d muss durch andere (gegebene) Größen ausgedruckt werden. Die Flugdauer t d setzt sich zusammen aus der Zeit, die der Stein braucht bis er die maximale Höhe erreicht und der Zeit von diesem Punkt aus bis er wieder auf den Boden fällt.
Wurfweite für \( h_0 = 0 \) Die Berechnug der Wurfweite ist für \( h_0 = 0 \) noch relativ gut herzuleiten. Im folgenden Diagramm ist die Bahnkurve eines Wurfes mit der Anfangsgeschwindigkeit \( v_0 = \rm 40 \, \, \frac{m}{s} \) und dem Abwurfwinkel \( \alpha = 40^\circ \) dargestellt. Die Wurfweite ist eingezeichnet. $$ y(x) = \dfrac{g}{2 \, \, (v_0)^2} \cdot x^2 $$ $$ x(t) = v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \qquad \qquad \qquad y(t) = -\dfrac{g}{2} \cdot t^2 + v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t $$ Die Wurfweite ist erreicht, wenn die Zeit \( t_1 = t_\rm{H} + t_\rm{F} \) (Steigzeit + Fallzeit) verstrichen ist. Da der Körper die gleiche Zeit lang fällt wie er aufsteigt gilt \( t_\rm{F} = t_\rm{H} \). Verlauf eines schiefen Wurfs berechnen. Die Formel für die Steigzeit wurde weiter oben hergeleitet. Es gilt nun für die Wurfweite \( x_\rm{max} \): x_\rm{max} &= x(2 \cdot t_\rm{H}) \\ x_\rm{max} &= v_0 \cdot \cos \alpha \cdot 2 \cdot t_\rm{H} \\ x_\rm{max} &= v_0 \cdot \cos \alpha \cdot 2 \cdot \dfrac{v_0 \cdot \sin \alpha}{g} \\ x_\rm{max} &= (v_0)^2 \cdot 2 \cdot \dfrac{\cos \alpha \cdot \sin \alpha}{g} \qquad | \cos \alpha \cdot \sin \alpha = \dfrac{1}{2} \cdot \sin (2 \, \, \alpha)\\ x_\rm{max} &= \dfrac{(v_0)^2 \sin (2 \, \, \alpha)}{g} \\ Geschwindigkeit-Zeit-Gesetze Die Geschwindigkeit in X-Richtung ist konstant und beträgt \( v_{0, x} \).
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