Dazu nehmen wir dieselben Umformungen wie in Beispiel 1, nur die rechte Seite ist anders. $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&0&5 \\ 0&2&0&4 \\ 0&2&1&7 \end{array} \right)$$ $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&0&5 \\ 0&2&0&4 \\ 0&0&1&3 \end{array} \right)$$ $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&0&5 \\ 0&1&0&2 \\ 0&0&1&3 \end{array} \right)$$ $$\left( \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&1 \\ 0&1&0&2 \\ 0&0&1&3 \end{array} \right)$$ Jetzt sind die Koeffizienten x, y und z links isoliert und auf der rechten Seite kann man die Lösung des Gleichungssystems ablesen: x = 1, y = 2 und z = 3. Kontrolle: $$1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 +0 \cdot 3 = 5$$ $$2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 +0 \cdot 3 = 6$$ $$0 \cdot 1 + 2 \cdot 2 +1 \cdot 3 = 7$$
In der Schule lernt man einige Verfahren zum Lösen eines linearen Gleichungssystems (LGS). Jeder hat schon mal von Einsetzungsverfahren gehört, aber nur wenige von Gauß-Jordan-Algorithmus. Damit lässt sich ein LGS meistens schneller lösen als mit herkömmlichen Lösungsverfahren. Zudem spart man sich damit einiges an Schreibarbeit und macht folglich weniger Fehler, denn jeder weiß, dass je länger die Rechnung ist, um so mehr Fehler sich einschleichen. Ich werde hier Anhand einiger Beispiele zeigen, wie Gauß-Jordan-Algorithmus funktioniert. Matrixschreibweise Ein typisches LGS: -2a – 4b – 6c = 4 3a – b + 2c = 1 4a + 3c = 3 Zuerst schreibt man die Gleichungen in eine Matrixform um. Gauß jordan verfahren rechner funeral home. Jede Zeile der Matrix enthält die Koeffizienten aller Unbekannten der jeweiligen Gleichung. Der Wert nach dem Trennstrich entspricht dem konstanten Term in einer Gleichung. Durch diese Darstellung spart man sich etwas an Schreibarbeit und bekommt eine bessere Übersicht. Elementare Zeilenumformungen Die Matrixschreibweise ist erst mal nur eine andere Form des LGS, d. h. man kann darauf bereits aus der Schule bekannte Elementarumformungen anwenden.
Wir müssten in der zweiten Zeile die zweite Zahl, also die -7 auf 1 bringen. II = II / (-7) Aus -8 muss 0 werden. Also: III = III -(-8)*II = III + 8*II An dieser Stelle sehen wir bereits, dass c=-3 ist. Man könnte jetzt a und b durch Einsetzen bekommen, aber das ist nicht der Sinn dieses Beispiels. Es geht weiter. Schritt 5: Die Matrix hat jetzt eine Treppenstufenform bzw. Gaußverfahren - lernen mit Serlo!. konkret sogar eine Dreiecksform. An dieser Stelle beginnt der Algorithmus von vorne mit unterer rechter Zahl (-1) als Ausgangspunkt. Entfällt, da -1 ungleich Null ist. III = III / (-1) Wir wiederholen das Spiel in dem wir versuchen die Zahlen oberhalb der letzten unteren Zahl zu eliminieren. I = I – 3*III II = II – III Man beginnt den Algorithmus von vorne mit 1 in der Mitte als Ausgangspunkt. Schritt 1 und 2: Entfallen. I = I – 2*II Damit hat die Matrix eine Diagonalform. Wir könnten auch schreiben: 1a + 0b + 0c = 3 0a + 1b + 0c = 2 0a + 0b + 1c = -3 Was direkt der Lösung a=3; b=2; c=-3 entspricht. Wenn man die Zwischenschritte weg lässt, dann wird deutlich, wie wenig Schreibarbeit so ein Lösungsweg braucht.
Konkret bedeutet es, dass man folgende Umformungen durchführen darf, ohne das sich dadurch die Lösung des LGS verändert: Das Vertauschen zweier Zeilen Das Multiplizieren einer Zeile mit einem Wert ungleich Null Das Addieren des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile Gauß-Jordan-Algorithmus Der Gauß-Jordan-Algorithmus sagt uns in welcher Reihenfolge wir die elementaren Zeilenumformungen anwenden müssen. Befolgt man diesen Anweisungen, so erhält man automatisch eine Lösung des LGS, vorausgesetzt das LGS ist lösbar. Ablauf: Vertausche die Zeilen so, dass in der ersten Zeile an erster Stelle keine Null steht. Dividiere die erste Zeile durch die erste Zahl in dieser Zeile. Damit hat man an erster Stelle eine Eins stehen. Subtrahiere von der zweiten Zeile ein Vielfaches der ersten Zeile so, dass als Ergebnis in zweiten Zeile die erste Zahl zu Null wird. Algorithmensammlung: Numerik: Gauß-Jordan-Algorithmus – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher. Wiederhole das Gleiche mit erster und dritter, erster und vierter, erster und n-ten Zeile. Nach diesem Schritt, steht in der ersten Spalte oben eine Eins und die restlichen Einträge sind Null.
1. Umformung: Die 2. Zeile wird mit -1 multipliziert (alle Vorzeichen wechseln) und das Zweifache der 1. Zeile wird zur 2. Zeile addiert, Ergebnis: $$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&2&0&1&0&0 \\ 0&2&0&2&-1&0 \\ 0&2&1&0&0&1 \end{array} \right)$$ 2. Umformung: Von der 3. Zeile wird die 2. Gauß jordan verfahren rechner wife. Zeile abgezogen, Ergebnis: $$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&2&0&1&0&0 \\ 0&2&0&2&-1&0 \\ 0&0&1&-2&1&1 \end{array} \right)$$ 3. Zeile wird durch 2 geteilt, Ergebnis: $$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&2&0&1&0&0 \\ 0&1&0&1&-\frac{1}{2}&0 \\ 0&0&1&-2&1&1 \end{array} \right)$$ 4. und letzte Umformung: Das Zweifache der 2. Zeile wird von der 1.
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