Ausgangssituation: Kartenziehen Lena zieht aus einem Skat-Spiel mit 32 Karten nacheinander 3 Spielkarten. Lena möchte wissen, wie wahrscheinlich es ist, nur rote Karten zu ziehen. Dazu bestimmt Lena zunächst die Anzahl aller Möglichkeiten, nacheinander 3 beliebige Spielkarten zu ziehen. Dabei wendet Lena die Produktregel der Kombinatorik an. Ein Skatblatt besteht aus folgenden Karten: 8 rote Herz-Karten 8 rote Karo-Karten 8 schwarze Pik-Karten 8 schwarze Kreuz-Karten In jeder Farbe gibt es jeweils vier Zahlenkarten von 7 bis 10 sowie die vier Bildkarten Bube, Dame, König und As. Produktregel der Kombinatorik: Nacheinander soll eine bestimmte Anzahl von Entscheidungen getroffen werden. Kombinatorik - Vermischte Aufgaben. Bei jeder dieser Stufen steht eine bestimmte Anzahl von Möglichkeiten zur Auswahl. Auf der 1. Stufe gibt es $$n_1$$ Möglichkeiten, auf der 2. Stufe $$n_2$$ Möglichkeiten, … (usw. ) und auf der k. Stufe $$n_k$$ Möglichkeiten. Gesamtzahl der Möglichkeiten: $$n_1*n_2*…*n_k$$ Gesamtzahl der Möglichkeiten Lena muss zunächst festlegen, ob sie die Spielkarten mit oder ohne Zurücklegen zieht.
Die Binomialverteilung zeichnet sich dadurch aus, dass jedes Spiel, Experiment oder Durchgang nur zwei Arten von Ausgängen hat: Erfolg oder Misserfolg Zum Beispiel zählt das Würfeln NICHT zur Binomialverteilung da es 6 verschiedene Ausgänge gibt. Allerdings können wir durch Einschränken eine Binomialverteilung erreichen: Legen wir fest, das Würfeln einer 6 ist ein Erfolg, ansonsten ist es ein Misserfolg. Man sagt: die Wahrscheinlichkeit auf Erfolg ist p = 1/6 p ist eine Abkürzung aus dem Englischen: probability = Wahrscheinlichkeit Ein anderes Beispiel ist der Münzwurf: Hier sind Erfolg und Misserfolg eindeutig: Zahl oder nicht Zahl. Kombinatorik wahrscheinlichkeit aufgaben des. Die Wahrscheinlichkeiten kennen wir bereits: Erfolg: Zahl mit p = 0, 5 Misserfolg: Kopf mit p = 0, 5 Ein solches Experiment wie der Münzwurf mit 2 Ausgängen nennt man Bernoulli Experiment. Man kann natürlich, wie bereits gelernt, auch mehrere Durchgänge machen, was zu einer Bernoulli-Kette führt. Diese kann auch sehr schön gezeichnet werden: Beispiel mit 3 fachem Münzwurf: 0, 5 bezeichnet hier immer die jeweilige Wahrscheinlichkeit, mit der das Ereignis Zahl oder Nicht-Zahl eintritt.
Hinweis: Da erfahrungsgemäß gerade die Zuordnung zu den Modellen Probleme bereitet, sind die Aufgaben weder nach Themen noch nach Schwierigkeit geordnet. Es sind die Modelle geordnetes Ziehen mit/ohne Zurücklegen sowie ungeordnetes Ziehen ohne Zurücklegen berücksichtigt. Karina hat vier verschiedene Hosen, sieben verschiedene Pullover und zwei Paar Halbschuhe. Da sie keinen großen Wert auf Mode legt, greift sie blindlings zu einer Kombination. Wie viele Zusammenstellungen sind möglich? Ein Passwort soll aus acht Zeichen bestehen. Kombinatorik wahrscheinlichkeit aufgaben dienstleistungen. Für jedes Zeichen sind die 26 Buchstaben des Alphabets und 10 Ziffern zulässig. Wie viele zulässige Passwörter gibt es, wenn zwischen Groß- und Kleinschreibung nicht unterschieden wird, unterschieden wird? Li hat 100 Lieder in einem Verzeichnis seines (chinesischen) MP3-Players gespeichert. Jürgen kann mit den Schriftzeichen nichts anfangen und wählt willkürlich ein Lied nach dem anderen, wobei Wiederholung nicht ausgeschlossen ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hört er während der nächsten 15 Lieder mindestens ein Lied mehr als einmal?
Mit Zurücklegen: $$32*32*32$$ Möglichkeiten Ohne Zurücklegen: $$32*31*30$$ Möglichkeiten Mit Zurücklegen: Lena legt die gezogene Karte jedes Mal sofort wieder zurück und mischt das Kartenspiel gut durch. Ohne Zurücklegen: Lena legt die gezogene Karte vor jedem neuen Zug nicht wieder zurück. kann mehr: interaktive Übungen und Tests individueller Klassenarbeitstrainer Lernmanager Anzahl der günstigen Ereignisse Nun überlegt Lena, welche Karten sie ziehen kann, damit ihre Ausgangsfrage erfüllt ist. Mit der Produktregel Wahrscheinlichkeiten berechnen – DEV kapiert.de. Lenas Ausgangsfrage war: Wie wahrscheinlich ist es, bei drei Zügen nur rote Karten zu ziehen? Es gibt 16 rote Spielkarten in einem Skat-Spiel. Mit Zurücklegen: $$16*16*16$$ Möglichkeiten Ohne Zurücklegen: $$16*15*14$$ Möglichkeiten Der Mathematiker spricht von günstigen Ereignissen. Lenas Ausgangsfrage: Wie wahrscheinlich ist es, bei drei Zügen nur rote Karten zu ziehen? Berechnung der Wahrscheinlichkeit Das Kartenspiel wird gut gemischt und alle Karten sehen gleich aus. Jede Spielkarte kann mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen werden.
19 Wie viele verschiedene Blumentöpfe sind nötig, damit du sie an jedem Tag eines Jahres in einer anderen Reihenfolge nebeneinander aufstellen kannst? 20 Das Alphabet hat 26 Buchstaben. Wie viele verschiedene Wörter (auch sinnlose) gibt es mit zwei Buchstaben? Wie viele verschiedene Wörter gibt es mit acht Buchstaben? Für Computerpasswörter kann man Großbuchstaben, Kleinbuchstaben, die Ziffern und noch acht Sonderzeichen (!? ;:<>#) verwenden. Wie viele Passwörter mit zwei Zeichen gibt es? Wie viele sind es mit drei, wie viele mit acht Zeichen? Kombinatorik wahrscheinlichkeit aufgaben der. 21 Zum Ausklang von Judits Geburtstagsfeier wird Eis angeboten. Es gibt fünf Sorten: Erdbeere, Himbeere, Schokolade, Vanille, Zitrone Jedes Kind darf sich drei Kugeln unterschiedlicher Sorten aussuchen. Wie viele Kombinationen sind möglich? Wie viele Zusammenstellungen gibt es, wenn die drei Kugeln auch von derselben Sorte sein dürfen? 22 Wie viele verschiedene dreistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 3, 5 und 7 bilden, wenn man jede Ziffer nur einmal benutzen darf?
Ein solcher Vorgang wird Laplace-Experiment genannt. Für Laplace-Experimente gilt: $$P =(Anzahl\ der\ günsti\g\e\n\ Er\g\ebnisse)/(Anzahl\ der\ möglichen\ Er\g\ebnisse)$$ Wahrscheinlichkeit für das Ziehen von 3 roten Karten beim Ziehen mit Zurücklegen: $$P\ (3\ rote\ Karten) = (16*16*16)/(32*32*32)$$ Wahrscheinlichkeit für das Ziehen von 3 roten Karten beim Ziehen ohne Zurücklegen: $$P (3\ rote\ Karten) = (16*15*14)/(32*31*30)$$ Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich. Würfeln mit einem fairen Würfel ist ebenfalls ein Laplace-Experiment. Aufgaben zur Kombinatorik - lernen mit Serlo!. Berechnung in komplexen Situationen Nun möchte Lena außerdem wissen, wie wahrscheinlich es ist, 3 gleichfarbige Karten zu ziehen. Lena berechnet die Anzahl der günstigen Ergebnisse aus der Summe der Möglichkeiten, 3 schwarze Karten zu ziehen oder 3 rote Karten zu ziehen. Mit Zurücklegen: $$16*16*16 + 16*16*16$$ Möglichkeiten Ohne Zurücklegen: $$16*15*14 + 16*15*14$$ Möglichkeiten Wahrscheinlichkeit für das Ziehen von 3 gleichfarbigen Karten beim Ziehen mit Zurücklegen: $$P\ (3\ g\l\eichfarbi\g\e\ Karten) = (16*16*16 + 16*16*16)/(32*32*32)$$ Wahrscheinlichkeit für das Ziehen von 3 gleichfarbigen Karten beim Ziehen ohne Zurücklegen: $$P\ (3\ g\l\eichfarbi\g\e\ Karten) = (16*15*14 + 16*15*14)/(32*31*30)$$ Lenas neue Frage: Wie wahrscheinlich ist es, bei drei Zügen nur gleichfarbige Karten zu ziehen?
Achtung diese Wahrscheinlichkeiten sind nicht immer gleich! Hier könnte ebenso an einem Ast 0, 7 und am anderen 0, 3 stehen. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, bei dreimal werfen genau zweimal Zahl und einmal Kopf zu haben? Die 3 verschiedenen Wege, das gewünschte Ergebnis zu bekommen sind hier bunt markiert. Die Wahrscheinlichkeit setzt sich zusammen durch das Produkt der einzelnen Schritte · die Anzahl der Wege: Produkt der Einzelnen Schritte: Zahl · Zahl · Kopf = 0, 5 · 0, 5 · 0, 5 = 0, 125 Es folgt: P(zweimal Zahl und einmal Kopf) = Produkt der Schritte · Anzahl der Wege = 0, 125 · 3 = 0, 375 Macht man nun aber mehr als 3 Durchgänge, wirst du merken, dass die Wege und Möglichkeiten sehr schnell ansteigen und nicht mehr übersichtlich sind. Zum Glück gibt es wieder eine Gleichung, in die wir nur noch einsetzen müssen: Diese sagt uns die Wahrscheinlichkeit von i Erfolgen bei n Durchgängen zu einer jeweiligen Wahrscheinlichkeit p. Beispiel Münzwurf: Wie wahrscheinlich ist es bei 5maligem werfen 3 Mal Zahl zu werfen?