Das Ergebnis lässt sich auf mehr als zwei Kongruenzen verallgemeinern: Satz (Chinesischer Restsatz, allgemeine Form) Sei r ≥ 2, und seien m 1, …, m r ≥ 1 paarweise teilerfremd. Weiter seien a 1, …, a r ≥ 1 beliebig. Dann gibt es ein modulo m = m 1 … m r eindeutig bestimmtes x mit (+) x ≡ a i mod(m i) für alle 1 ≤ i ≤ r. Um eine Lösung von (+) effektiv zu bestimmen, können wir die beiden ersten Kongruenzen zu x ≡ a 12 mod(m 1 m 2) zusammenfassen, wobei a 12 die modulo m 1 m 2 eindeutige Lösung der beiden Kongruenzen ist. Damit haben wir ein äquivalentes System mit r − 1 Kongruenzen erzeugt. Die Wiederholung dieser Reduktion liefert schließlich die modulo m eindeutige Lösung des Systems. Chinesischer restsatz rechner. Für den nicht teilerfremden Fall gilt (Übung): Satz (Existenz simultaner Lösungen) Sei r ≥ 2, und seien m 1, …, m r ≥ 1 und a 1, …, a r ≥ 1 beliebig. Dann gibt es genau dann ein x mit x ≡ a i mod(m i) für alle 1 ≤ i ≤ r, falls gilt (m i, m j) | (a i − a j) für alle 1 ≤ i < j < r. Eine Lösung ist modulo kgV( m 1, …, m r) eindeutig bestimmt.
Zu Beginn benötigen wir eine Zahl, die wir umrechnen können. Nehmen wir uns also der Einfachheit halber die 3. 25. Diese müssen wir zunächst ins Binärsystem umwandeln. Dafür berechnen wir zuerst die Vorkommastellen. Gleitkommazahl Beispiel Dann nehmen wir den Rest und teilen erneut durch zwei. So erhalten wir noch einmal den Rest eins. Damit haben wir die Vorkommastellen. Bleiben noch die Nachkommastellen. Dazu rechnen wir:. Chinesischer restsatz online rechner. Damit ist unsere Ziffer null. Dann wiederholen wir denselben Vorgang mit unserem Ergebnis und erhalten eins, womit auch unsere binäre Ziffer eine eins ist. Normierung der Zahl und 32-Bit-Gleitkommadarstellung Damit sind wir aber noch lange nicht fertig, denn nun müssen wir diese Zahl normieren. Dazu verschieben wir das Komma – oder im Fall der Binärschreibweise – den Punkt, so weit nach links, dass nur noch eine Ziffer davorsteht. Machen wir das mit unserer Zahl, so erhalten wir: Jetzt wandeln wir unser Ergebnis noch in etwas für unseren Rechner Lesbares um. Dabei nehmen wir die häufig genutzte 32-Bit-Gleitkommadarstellung.
Nun scheinen die Fragen in Ihren Kommentaren nach den Details dieses Rekombinationsschrittes zu fragen. Nun ist es eigentlich ziemlich einfach, die Korrektheit des Algorithmus zu sehen.