24. 09. 2011, 13:42 Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten » Extrempunkt (notwendige, hinreichende Bedingung) Hallo, ich frage mich, ob folgende hinreichende Bedingung für Extremstellen auch notwendig ist: Für mich ist klar und einleuchtend, dass diese Bedingung hinreichend ist, doch ist diese auch immer notwendig? Das heißt: Gibt es eine Funktion, sodass Extremstelle ist, aber? Wenn dem nicht so wäre, könnte man ja die o. g. Implikation als Äquivalenz ansehen. Vielen Dank, 24. 2011, 14:12 klarsoweit RE: Extrempunkt (notwendige, hinreichende Bedingung) Zitat: Original von Pascal95 Klar gibt es die. Hast du dir mal die Funktion angesehen? 24. 2011, 14:17 Joe91 f(x) = x^4 f'(x) = 4x^3 f''(x) = 12x^2 An der Stelle x0 = 0 hast du jetzt in der 2. Ableitung den Wert 0. Trotzdem hat die Funktion eine Extremstelle bei x0 = 0 Hier müsste man dann also den Vorzeichentest machen. Hochpunkte bzw. Tiefpunkte - Vorzeichenvergleich, 2. Ableitung — Mathematik-Wissen. Also wenn du eine Funktion hast, die bei jeder Ableitung (bzw bis zur 2. Ableitung) an der Stelle x0 0 ergibt, ist diese hinreichende Bedingung nicht einsetzbar.
1. Motivation Viele Aufgabenstellungen sind mit der Suche nach Hoch- und Tiefpunkten verbunden. Graphisch fällt es ziemlich leicht, die gesuchten Punkte zu finden. Dank der Ableitungen von Funktionen ist es auch möglich, die gesuchten Stellen zu finden, ohne den Graphen zeichnen zu müssen, verbunden mit der Tatsache, dass die gefundenen Werte exakter sind, da die Stellen nicht abgeschätzt werden, sondern berechnet werden können. Im folgenden betrachten wir zwei Möglichkeiten, lokale Extremstellen zu finden, wobei die untersuchten Funktionen mehrfach differenzierbar sein sollen (also ableitbar und damit "ohne Knick") und jede Funktion und ihre Ableitungen stetig, also "in einem Zug zeichenbar". 2. Erste hinreichende Bedingung für lokale Extremstellen Das Besondere an Hoch- und Tiefpunkten ist zum einen, dass dort waagrechte Tangenten vorliegen. Figure 1. Gewinnmaximum/ notwendige/hinreichende Bedingung/Extrempunkte | Mathelounge. Funktion f mit waagrechter Tangente am Tiefpunkt A Somit ist die erste Ableitung der Funktion \$f\$ an dieser Stelle 0. Figure 2. Funktion f mit waagrechter Tangente und der Ableitung f' Aber Vorsicht: Die Schlussfolgerung \$f'(x_0)=0=>\$ Extremstelle bei \$x_0\$ ist falsch!
Dieser Sachverhalt ist hinreichend dafür, dass Herr Meier als Fahrer agiert. Aber zwei eigene Autos müssen nicht sein. Petra hat auch einen Führerschein, ihr steht ein fahrbereites, zugelassenes Auto zur Verfügung. Diese Bedingung ist notwendig und hinreichend, Petra darf unbesorgt fahren. Hier finden Sie Trainingsaufgaben dazu Relative und absolute Extrema Bislang sprachen wir nur von einem relativen Minimum, bzw. von einem relativen Maximum. Diese Extrema sind lokal. Hochpunkt und Tiefpunkt berechnen - Simplexy. Wir betrachten nun eine Funktion auf ihrem maximalen Definitionsbereich D = IR. Das Verhalten der Funktionswerte für immer kleiner werdende x – Werte, bzw. für immer größer werdende x – Werte soll nun betrachtet werden. Für immer kleiner werdende x – Werte werden die Funktionswerte immer größer, gleiches gilt auch für immer größer werdende x – Werte. Wir schreiben: Ist die gleiche Funktion auf einem Intervall D = [ a; b] definiert, dann gilt: Liegt als Definitionsmenge ein Intervall vor, so sind die Funktionswerte auch an den Randstellen zu untersuchen.
Diese Aussagenverbindung ist gleichwertig mit. Die Behauptung F ist dann und nur dann wahr, wenn E erfüllt ist. Die Implikation ist umkehrbar, d. h., es gilt auch, wenn A notwendig und hinreichend für B ist. logisches Kauderwelsch 24. 2011, 15:22 ok, tatsächlich. Danke sehr Hier müsste man dann auf Vorzeichenwechsel prüfen. Auf der Seite hier finde ich folgendes: Und weiterhin ist klar, dass die zweite Ableitung in der hinreichenden Bedingung nicht Null sein darf. Denn wenn die zweite Ableitung Null ist, befindet sich in der ersten Ableitung ein Extremum, was Nullstelle zur ersten Ableitung ist und somit würde sich die Steigung der Funktion nicht ändern und es würde sich deshalb nicht um einen Extrempunkt handeln. Hier ist das Problem ja wieder, dass nicht zwingend impliziert... Oder sehe ich das falsch? 24. 2011, 15:58 Und weiterhin ist klar, dass die zweite Ableitung in der hinreichenden Bedingung nicht Null sein darf. Haben wir nicht gerade gezeigt, dass sie 0 sein darf und der Punkt ist trotzdem eine Extremstelle?
Es handelt sich um einen Hochpunkt, wenn die Stelle eine negative Zahl ergibt und einen Tiefpunkt, wenn die Stelle eine positive Zahl ergibt. Wir bilden die zweite Ableitung und überprüfen die zwei Stellen: Wir setzen die Stellen in die Funktion en und erhalten für den Hochpunkt H(– 2|6) und für den Tiefpunkt T(4|– 6).
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