Es besorgte auch alles nach ihrer Zufriedenheit und schttelte ihr das Bett immer gewaltig auf, dafr hatte es auch ein gut Leben bei ihr, kein bses Wort und alle Tage Gesottenes und Gebratenes. Nun war es eine Zeitlang bei der Frau Holle, da ward es traurig in seinem Herzen, und ob es hier gleich viel tausendmal besser war, als zu Haus, so hatte es doch ein Verlangen dahin; endlich sagte es zu ihr: Ich habe den Jammer nach Haus kriegt und wenn es mir auch noch so gut hier geht, so kann ich doch nicht lnger bleiben. " Die Frau Holle sagte: Du hast Recht und weil du mir so treu gedient hast, so will ich dich selbst wieder hinaufbringen. " Sie nahm es darauf bei der Hand und fhrte es vor ein groes Tor. Das ward aufgetan und wie das Mdchen darunter stand, fiel ein gewaltiger Goldregen und alles Gold blieb an ihm hngen, so dass es ber und ber davon bedeckt war. Das sollst du haben, weil du so fleiig gewesen bist", sprach die Frau Holle und gab ihm auch noch die Spule wieder, die ihm in den Brunnen gefallen war.
Frau Holle Märchenpostkarte Sammlung Morscher privat Märchen Nr. 13. Weil die Alte ihm so gut zusprach, so fasste sich das Mädchen ein Herz, willigte ein und begab sich in ihren Dienst. Es besorgte auch alles nach ihrer Zufriedenheit, und schüttelte ihr das Bett immer gewaltig auf, dass die Federn wie Schneeflocken umherflogen; dafür hatte es auch ein gut Leben bei ihr, kein böses Wort, und alle Tage Gesottenes und Gebratenes. Nun war es eine Zeitlang bei der Frau Holle, da ward es traurig und wusste anfangs selbst nicht, was ihm fehlte, endlich merkte es, dass es Heimweh war; ob es ihm hier gleich viel tausendmal besser ging als zu Hause, so hatte es doch Verlangen dahin. Endlich sagte es zu ihr: "Ich habe den Jammer nach Haus kriegt, und wenn es mir auch noch so gut hier unten geht, so kann ich doch nicht länger bleiben, ich muss wieder hinauf zu den Meinigen. " Die Frau Holle sagte: "Es gefällt mir, dass du wieder nach Hause verlangst, und weil du nur so treu gedient hast, so will ich dich selbst wieder hinaufbringen. "
FRAU HOLLE Eine Witwe hatte zwei Töchter, davon war die eine schön und fleissig, und die andere hässlich und faul. Sie hatte aber die hässliche und faule, weil sie ihre rechte Tochter war, viel lieber, und die andere musste alle Arbeit tun und der Aschenputtel im Hause sein. Das arme Mädchen musste sich täglich auf die grosse Strasse bei einem Brunnen setzen, und musste so viel spinnen, dass ihm das Blut aus den Fingern sprang. Nun trug es sich zu, dass die Spule einmal ganz blutig war, da bückte es sich damit in den Brunnen und wollte sie abwaschen; sie sprang ihm aber aus der Hand und fiel hinab. Es weinte, lief zur Stiefmutter und erzählte ihr das Unglück. Sie schalt es aber so heftig und war so unbarmherzig, dass sie sprach "hast du die Spule hinunterfallen lassen, so hol sie auch wieder herauf. " Da ging das Mädchen zu dem Brunnen zurück und wusste nicht, was es anfangen sollte: und in seiner Herzensangst sprang es in den Brunnen hinein, um die Spule zu holen. Es verlor die Besinnung, und als es erwachte und wieder zu sich selber kam, war es auf einer schönen Wiese, wo die Sonne schien und viel tausend Blumen standen.
Noch ein Trick Nicht in jedem Quadrat findest du eine Quadratzahl oder ein "hoch 2". Dennoch kannst du solche Terme faktorisieren. $$5x^2+4sqrt(5)*x+4$$ 1. Schritt: $$a^2stackrel(^)=5x^2 rArr a=sqrt(5x^2)=sqrt(5)*x$$ $$b^2stackrel(^)=4 rArr b=sqrt(4)=2$$ 2. Schritt $$2ab stackrel(^)=2*sqrt(5)*x*2=4sqrt(5)*x $$ 3. Schritt: $$5x^2+4sqrt(5)*x+4=(sqrt(5)x+2)^2$$ Ein weiteres Beispiel $$16a-12b^2$$ $$a^2stackrel(^)=16a rArr a=sqrt(16a)=4sqrt(a)$$ $$b^2stackrel(^)=12b^2 rArr b=sqrt(12b^2)=sqrt(12)*b$$ $$16a-12b^2=(4sqrt(a)+sqrt(12)b)(4sqrt(a)-sqrt(12)b)$$ Durch Faktorisieren Brüche kürzen Da aus "Summen nur die Dummen" kürzen, kannst du mithilfe des Faktorisierens den ein oder anderen Bruch überlisten. $$(c^2-6c+9)/(c^2-9)$$ Mithilfe der binomischen Formeln kannst du aus Zähler und Nenner ein Produkt machen. $$((c-3)^2)/((c+3)(c-3))=((c-3)*(c-3))/((c+3)*(c-3))$$ Und schon hast du ein Produkt und kannst jetzt durch $$(c-3)$$ kürzen: $$((c-3)^2)/((c+3)(c-3))=(c-3)/(c+3)$$ Hier ist im Zähler $$a^2stackrel(^)=c^2 rArr a stackrel(^)=c$$ $$b^2stackrel(^)=9 rArr b stackrel(^)=3$$ $$2ab stackrel(^)=2*c*3=6c$$ Mit der 2. Faktorisieren von binomischen formeln. binomische Formel erhältst du $$c^2-6c+9=(c-3)^2$$ Im Nenner erhältst du mit der 3. binomischen Formel $$c^2-9=(c+3)(c-3)$$ kann mehr: interaktive Übungen und Tests individueller Klassenarbeitstrainer Lernmanager Terme mit dem Formel-Editor So gibst du Terme auf ein:
=6rs$$ Der mittlere Summand stimmt nicht mit dem Term überein, also lässt sich dieser Term nicht direkt mithilfe der binomischen Formeln faktorisieren. Faktorisieren mithilfe der 3. binomischen Formel Damit du die 3. binomische Formel "rückwärts" anwenden kannst, muss ein Term 2 Voraussetzungen erfüllen. Prüfe das in 2 Schritten. Schreibe $$49-81x^2$$ als Produkt. Schritt Wieder brauchst im Term zwei quadratische Summanden ($$a^2$$ und $$b^2$$)? Faktorisieren mit binomischen Formeln – Herr Mauch – Mathe und Informatik leicht gemacht. Was folgt daraus für $$a$$ und $$b$$? $$a^2 stackrel(^)=49 rArr a stackrel(^)=sqrt(49)=7$$ $$b^2 stackrel(^)=81x^2 rArr b stackrel(^)=sqrt(81x^2)=9x$$ 2. Schritt Kontrolliere, ob es sich bei dem Term um eine Differenz (Minus-Aufgabe) handelt. Wenn ja, schreibe das Produkt $$(a+b)(a-b)$$ Also: $$49-81x^2=(7+9x)(7-9x)$$ kann mehr: interaktive Übungen und Tests individueller Klassenarbeitstrainer Lernmanager Weitere Beispiele Mit etwas Übung, kannst du die einzelnen Schritte im Kopf machen und direkt das Ergebnis aufschreiben: $$a^2-10a+25=(a-5)^2$$ $$9+6b+b^2=(3+b)^2$$ $$v^2-64=(v+8)(v-8)$$ Noch ein Gegenbeispiel: $$36u^2-12u+v^2$$ Der mittlere Summand müsste $$2*6u*v=12uv$$ heißen, damit du die 2. binomische Formel direkt anwenden könntest.
Faktorisieren Definition Faktorisieren bedeutet: Summen oder Differenzen werden in Produkte umgewandelt. Beispiel Eine Funktion lautet: $f(x) = x^2 - 4x$ Die Differenz $x^2 - 4x$ kann als Produkt geschrieben werden, indem man hier x ausklammert: $x \cdot (x - 4)$ Bei der faktorisierten Form der Funktion $f(x) = x \cdot (x - 4)$ kann man nun leicht erkennen, wo die Nullstellen der Funktion liegen: Ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist; also bei x 1 = 0 (1. Faktor) und bei x 2 = 4 (der 2. Faktor x - 4 ist dann 0). Neben dem Ausklammern werden oft auch die binomischen Formeln benötigt, um Terme zu faktorisieren. Anwendung: Faktorisieren - lernen mit Serlo!. Eine Funktion lautet: $f(x) = x^2 - 4$ Den Term kann man auch als $x^2 - 2^2$ schreiben und mit der 3. binomischen Formel $a^2 - b^2 = (a + b) \cdot (a - b)$ mit a = x und b = 2 als $(x + 2) \cdot (x - 2)$ Die Nullstellen sind dann wieder gut zu erkennen: x 1 = -2 (der 1. Faktor x + 2 wird 0) und x 2 = 2 (der 2. Faktor x - 2 wird 0).
Schritt: Gibt es die Quadrate $$a^2$$ und $$b^2$$? Wie sehen $$a$$ und $$b$$ aus? $$a^2stackrel(^)=25p^2rArr a stackrel(^)=sqrt(25p^2)=5p$$ $$b^2stackrel(^)=16q^2rArr bstackrel(^)=sqrt(16q^2)=4q$$ Passt, also weiter zum … 2. Schritt: Jetzt kennst du $$a$$ und $$b$$ und kannst dir überlegen, wie der mittlere Summand $$2ab$$ aussehen müsste und ob er mit dem Term übereinstimmt: $$2ab stackrel(^)=2*5p*4q=2*5*4*pq=40pq$$ Das stimmt mit dem Term überein, also weiter zum… 3. Binome faktorisieren (herausheben). Schritt: Im Term steht erst $$-$$ und dann $$+$$, also arbeitest du mit der 2. Da alle Voraussetzungen erfüllt sind, schreibst du: $$25p^2-40pq+16q^2=(5p-4q)^2$$ $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ Ein Gegenbeispiel Schreibe den Term $$4r^2+6rs+9s^2$$ als Produkt. Schritt: Gibt es die Quadrate $$a^2$$ und $$b^2$$? Wie sehen $$a$$ und $$b$$ aus? $$a^2stackrel(^)=4r^2rArr a stackrel(^)=sqrt(4r^2)=2r$$ $$b^2stackrel(^)=9s^2rArr bstackrel(^)=sqrt(9s^2)=3s$$ Das passt, also weiter zum … 2. Schritt: Jetzt kennst du $$a$$ und $$b$$ und kannst dir überlegen wie der mittlere Summand $$2ab$$ aussehen müsste und ob er mit dem Term übereinstimmt: $$2ab stackrel(^)=2*2r*3s=12rs!