Unterrath ist ein beschaulicher Stadtteil nordöstlich des Düsseldorfer Zentrums. Hier lässt es sich trotz der Nähe zur Innenstadt und zum Internationalen Flughafen Düsseldorf recht ruhig leben: Zahlreiche Grünflächen ergänzen das durch Reihen- und Einfamilienhäuser bestimmte Ortsbild. In Unterrath leben rund 21. 000 Menschen, viele der Einwohnerinnen und Einwohner sind Beamte oder Selbständige. Haus kaufen unterrath 10. Der Anteil an Menschen ausländischer Herkunft ist gering. Unterrath gehört zum Düsseldorfer Stadtbezirk 6. Irrungen und Wirrungen und der Flughafen Im Jahre 1869 wurde in Unterrath die Kartause Maria Hain als erste neue Niederlassung des Kartäuser Ordens auf deutschem Gebiet begründet. 1891 sorgte die Errichtung einer neuen Bahnstation für Irrungen und Wirrungen: Um den neuen Bahnhof vom bereits existierenden Bahnhof Rath im heutigen Oberrath unterscheiden zu können, ernannte man ihn kurzerhand zum Bahnhof Unterrath und gab somit auch der alten Ortschaft einen neuen Namen. 1909 erfolgte die kollektive Eingemeindung von Unterrath, Rath und Lichtenbroich zur Stadt Düsseldorf.
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90 Aufrufe Aufgabe: Berechnen Sie mit den Algorithmen der Vorlesung (Chinesischer Restsatz) und ohne Hilfe eines Computers: 2^413 mod 225 Hinweis: Verwenden Sie im Teil b) den Chinesischen Restsatz und den kleinen Satz von Fermat. Verwenden Sie außerdem, dass für die Eulersche Phifunktion gilt ϕ(pk) = p^k − p^k−1 für alle Primzahlen p, k ∈ N und k ≥ 1. Chinesischer Restsatz – Wikipedia. Letztere Formel haben wir im Vorlesungsforum ebenfalls besprochen Gefragt 6 Jan von 1 Antwort Oh sorry. Dann kann man den chinesischen Restsatz ja doch noch verwenden;-) Da habe ich ja ziemlichen Murx geliefert.. Aber nun ist \(\phi(225)=\phi(3^2)\phi(5^2)=6\cdot 20=120\), also \(2^{120}\equiv 1\) mod \(225\), also...
Chinesischer Restsatz (auch chinesischer Restklassensatz genannt) ist der Name mehrerer ähnlicher Theoreme der abstrakten Algebra und Zahlentheorie. Simultane Kongruenzen ganzer Zahlen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Eine simultane Kongruenz ganzer Zahlen ist ein System von linearen Kongruenzen für die alle bestimmt werden sollen, die sämtliche Kongruenzen gleichzeitig lösen. Wenn eine Lösung existiert, dann sind mit die Zahlen genau alle Lösungen, wobei für das kleinste gemeinsame Vielfache steht. Es kann aber auch sein, dass es gar keine Lösung gibt. Chinesischer restsatz rechner grand rapids mi. Teilerfremde Moduln [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Herleitung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Originalform des chinesischen Restsatzes stammt aus dem Buch Sūn Zǐ Suànjīng ( chinesisch 孫子算經 / 孙子算经 – "Sun Zis Handbuch der Arithmetik") des Mathematikers Sun Zi (vermutlich 3. Jh. [1] [2]) und wurde 1247 von Qin Jiushaos Shùshū Jiǔzhāng ( 數書九章 / 数书九章 – "Mathematische Abhandlung in neun Kapiteln") wiederveröffentlicht. Der Satz trifft eine Aussage über simultane Kongruenzen für den Fall, dass die Moduln teilerfremd sind.
Gleichsetzen: 5a + 3 = 12b + 4 => 5a - 12b = 1 (1) Weißt du, wie man Gleichung (1) löst? Stichwort Euklidischer Algorithmus! Beachte: ggT(5, 12) = 1. Falls nein, frag noch mal. Ich sag' dir die Lösung von (1), ohne vorzurechen, wie ich drauf gekommen bin: ist a = 5, b = 2. Die allgemeine Lösung von (1) lautet: a = 5 + 12c, b = 2 + 5c (c beliebig) Mach die Probe! Also ergibt sich für x: x = 5a + 3 = 25 + 60c + 3 = 60c + 28 bzw. x = 12b + 4 = 24 + 60c + 4 = 60c + 28 Jetzt soll auch noch x = 20 mod 77 gelten. Also x = 77d + 20 Wieder gleichsetzen: 77d + 20 = 60c + 28 => 77d - 60c = 8 (2) Um (2) zu lösen, löse zunächst 77e - 60f = ggT(77, 60) = 1 Hier wieder die Lösung ohne Rechnung: e = 53, f = 68. Für die Lösung von (2) wird das einfach mit 8 multipliziert: c = 8f = 544, d = 8e = 424. Chinesischer Restsatz. Die allgemeine Lösung von (2) lautet c = 544 + 77g, d = 424 + 60g. Also x = 60c + 28 = 32640 + 4620g + 28 = 32668 + 4620g bzw. x = 77d + 20 = 32648 + 4620g + 20 = 32668 + 4620g Die kleinste Lösung erhältst du, wenn du g = -7 setzt: x = 328.
Da die obige Gleichung tatsächlich modulo $p$ berechnet wird, können wir $q * q_\mathit{inv}$ durch 1 ersetzen, was uns ergibt: $m \bmod p = (m_2 + 1 * (m_1 - m_2)) \bmod p = m_1 \bmod p$ QED
Vielen Dank Volatility für das Speichern von 13 Bytes. l=input();x=reduce(lambda a, b:a*b[0], l, 1) print sum(x/a*b*pow(x/a, a-2, a)for a, b in l) 1584 142360350966 M*G. ^G-H2Hsm*edg/u*GhHQ1hdhdQ Verwendet Fermats kleinen Satz, dank Alephalpha. Berechnet nach dieser Formel. Chinesischer Restesatz. Ruby, 129 Nun, Genossen, es scheint, dass Ruby-Lösungen länger sein müssen, da die modulare Exponentiation nicht verfügbar ist, ohne die openssl-Bibliothek zu laden und Konvertierungen in OpenSSL:: BN durchzuführen. Trotzdem viel Spaß beim Schreiben: require("openssl") z=eval(gets) x=1 {|a, b|x*=a} s=0 {|a, b|_bn;s+=(x/a)d_exp(e-2, e). to_i*b*x/a} puts(s) n = P = 1 for p, a in input (): n += P *( a - n)* pow ( P, p - 2, p); P *= p print n Dies verwendet eine Variation der Produktkonstruktion, die andere Antworten verwenden. Die Idee ist, die Einschränkungen zu durchlaufen und die Lösung n zu aktualisieren, um die aktuelle Einschränkung zu erfüllen, ohne die vorherigen durcheinander zu bringen. Zu diesem Zweck verfolgen wir das Produkt P der bisher gesehenen Primzahlen und stellen fest, dass das Hinzufügen eines Vielfachen von P keine Auswirkung auf bereits gesehene Primzahlen hat.
Beweis zur Existenz: Mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus können wir 1 = (m 1, m 2) als Linearkombination von m 1 und m 2 darstellen. Seien also n 1, n 2 ∈ ℤ mit 1 = n 1 m 1 + n 2 m 2. Nun setzen wir x = a 1 n 2 m 2 + a 2 n 1 m 1. Dann ist x wie gewünscht, da x ≡ a 1 n 2 m 2 ≡ a 1 (1 − n 1 m 1) ≡ a 1 mod(m 1), x ≡ a 2 n 1 m 1 ≡ a 2 (1 − n 2 m 2) ≡ a 2 mod(m 2). zur Eindeutigkeit: Sind x und x′ wie in (+), so gilt x ≡ x′ mod(m 1) und x ≡ x′ mod(m 2). Chinesischer restsatz online rechner. Dann gilt m 1 | (x − x′) und m 2 | (x − x′). Wegen (m 1, m 2) = 1 gilt also m 1 m 2 | (x − x′). Damit ist x ≡ x′ mod(m 1 m 2). Der konstruktive Beweis zeigt, wie sich die modulo m eindeutige Lösung berechnen lässt. Das Verfahren ist auch für große Moduln sehr effizient. Beispiel Wir lösen die obigen Kongruenzen 2 ≡ x mod(3) und 4 ≡ x mod(5) mit dem Verfahren des Beweises. Der Euklidische Algorithmus liefert 1 = 2 · 3 − 1 · 5. Damit ist x = a 1 n 2 m 2 + a 2 n 1 m 1 = 2 · (−1) · 5 + 4 · 2 · 3 = −10 + 24 = 14 die modulo 15 eindeutige Lösung der Kongruenzen, in Übereinstimmung mit der oben durch Auflisten gefundenen Lösung.