Also ist die Ableitung von einer beliebigen Funktion: (1) f'(x0) = lim h -> 0 (( f(x0+h) - f(x0)) / h) Das "lim h-> 0" bedeutet, dass wir das "h" gegen 0 laufen lassen, also wie gewollt, dass sich die Punkte immer näher kommen. Was ist ein differenzenquotient und. (Eine kleine Romanze so zu sagen) Ich hoffe du kannst mir noch folgen, zur Vereinfachung hier ein Beispiel: Die Funktion sei z. B. f(x)=x² Gemäss der Definiton (1) ist somit die Ableitung der Funktion an der Stelle x0: f'(x0) = lim h->0 ((x0+h)²-x0²) / h Wir klammern ein Bisschen aus und kommen auf: f'(x0) = lim h->0 ((x0² + 2 x0 h +h² -x0²) / h das x0² fällt weg und es folgt: f'(x0) = lim h->0 2 x0 h+h² / h Wunderschönerweise können wir hier ein h ausklammern und anschliessend kürzen und es folgt: f'(x0) = lim h->0 2*x0+h Wegen dem "lim h->0" wird das h nun unendlich klein, es verschwindet im Nirvana der Zahlen, und es folgt: f'(x0) = 2*x0 Was ja bekanntlicher weise Stimmt. Diese Tatsache ist besonders bei der Lösung von Differentialgleichungen und bei Integralrechnungen oftmals sehr von Vorteil, aber das ist ein anderes Thema.
Die Antwort auf diese Fragen liefert die Differentialrechnung: Bereits im letzten Kapitel haben wir versucht, uns der Steigung einer Kurve ein wenig anzunähern. Dabei sind wir auf den Differenzenquotienten gestoßen: Gegeben ist eine Kurve. Wir markieren zwei beliebige Punkte, die auf der Kurve liegen. Anschließend ziehen wir durch die beiden Punkte eine Gerade. Eine Gerade, die durch zwei Punkte einer Kurve geht, bezeichnet man als Sekante. Differenzenquotient - lernen mit Serlo!. Die Formel für die Steigung der Sekante können wir mithilfe eines Steigungsdreiecks herleiten. Für die Sekantensteigung $m$ gilt folglich: $$ m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} $$ Diese Formel heißt auch Differenzenquotient. Gebräuchlicher ist für den Differenzenquotienten folgende Schreibweise: $$ m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} $$ Dabei gilt: $$ f(x_1) = y_1 $$ $$ f(x_0) = y_0 $$ Der Differenzenquotient ist leider nur ein Zwischenschritt auf dem Weg zur Steigung einer Kurve. Grund dafür ist, dass er die Steigung einer Gerade angibt, die durch zwei Kurvenpunkte verläuft.
Der Differentialquotient ist definiert als der Grenzwert des Differenzenquotienten (mit dem er gerne verwechselt wird! ). Er kann auch als die Steigung der Tangente an der Stelle x und damit als die momentane Änderungsrate interpretiert werden. Die Ableitung einer Funktion kann über den Differentialquotienten hergeleitet werden. Definition Geometrische Herleitung In der Abbildung rechts kann man sehen, wie sich der Differentialquotient geometrisch herleiten lässt: die Sekante schneidet den Graph von f noch in zwei Punkten. Durch den Grenzwert wird h immer kleiner. Dadurch rücken die beiden Punkte immer näher. Was ist ein differenzenquotient movie. Schließlich wird die Sekante zur Tangente und berührt den Graphen von f nur noch in einem Punkt.
Im Kapitel zur h-Methode lernen wir deshalb eine Funktion kennen, die den Rechenaufwand erheblich verkürzt: Diese Funktion heißt Ableitungsfunktion oder kurz Ableitung. Die Ableitungsfunktion ordnet jeder Stelle $x_0$ den Wert ihres Differentialquotienten zu. Wozu braucht man den differenzenquotienten? (Mathe, Mathematik, rechnen). Auf diese Weise können wir die Tangentensteigung im Punkt $\text{P}_0(x_0|y_0)$ ohne den Einsatz des Differentialquotienten berechnen. Online-Rechner Ableitungsrechner Zurück Vorheriges Kapitel Weiter Nächstes Kapitel
Der Differentialquotient ist die Steigung der Tangente bei x 0 (und dem zugehörigen Funktionswert y 0 = f(x 0)) und gilt damit als Steigung der Funktion bei x 0; er kann mit der h-Methode berechnet werden.
Eine Funktion heit differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt des Definitionsbereichs differenzierbar ist. © 1997, Josef Leydold Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung
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