Autor: Reinhard Thema: Ebenen Die drei Punkte A, B und C auf den drei Achsen legen eine Ebene E fest. Man nennt die drei Punkte auch Spurpunkte der Ebene E. Dargestellt ist auch das Spurdreieck. Rechner zum Ebenengleichung aus drei Punkten aufstellen. Mit den Schiebereglern lassen sich die Koordinaten und damit die Lage der Ebene verändern. Der Wert Null für eine oder mehrere Koordinaten liefert besondere Lagen der Ebenen, parallel zu einer Achse bzw. parallel zu einer Koordinatenebene.
Um später mit Vektor en Messungen anstellen zu können, müssen wir über ihren Betrag Bescheid wissen. Methode Hier klicken zum Ausklappen Den Betrag eines Vektors bzw. die Länge des zugehörigen Pfeiles ermittelt man durch $|\vec{v}|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$. Merke Hier klicken zum Ausklappen Ein Vektor $\vec{v}$ heißt normiert, wenn er den Betrag 1 hat, also wenn $|\vec{v}|=1$. Koordinatenform einer Ebene bestimmen - TOUCHDOWN Mathe. Ein beliebiger Vektor kann normiert werden, indem man ihn mit dem Kehrwert seines Betrages multipliziert. Bildlich gesprochen dividiert man durch die "Länge" seines Pfeiles. Einen normierten Vektor kennzeichnen wir mit einer kleinen 0 als Index und schreiben also $\vec{v_0}$. Merke Hier klicken zum Ausklappen Es gilt: $\vec{v_0} = \frac{1}{|\vec{v}|} \cdot \vec{v} = \frac{1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}} \cdot \vec{v}$. Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 6\\3\\6 \end{pmatrix}$ hat den Betrag $|\vec{v}|=\sqrt{36+9+36} = \sqrt{81} = 9$. Für den normierten Vektor $\vec{v_0}$ gilt also $\vec{v_0} = \frac{1}{9} \cdot \vec{v} = \frac{1}{9} \cdot \begin{pmatrix} 6\\3\\6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}$.
Die Koordinatenform ist eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung in der analytischen Geometrie. Koordinatenform einer Gerade In der analytischen Geometrie verwendet man meist die Variablen $x_1$ und $x_2$, wohingegen man in der Analysis eher die Variablen $x$ und $y$ verwendet.
Beispiel 15 Der Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $$ 2x_1 + 4x_2 - 3x_3 = -5 $$ ist $$ \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} $$ Koordinatenform umformen Koordinatenform gegeben Koordinatenform gesucht Koordinatenform in Parameterform Parameterform in Koordinatenform Koordinatenform in Normalenform Normalenform in Koordinatenform Zurück Vorheriges Kapitel Weiter Nächstes Kapitel
2 einsetze, dann habe ich trotzdem wieder 3 Unbekannte, nämlich s, X1 und X2. Bin jetz nich grade eine Leuchte in Mathe, deshalb wären einfache Erklärungen, wie ich hier am Besten verfahre, hilfreich. Aber ich weiss auch, dass wenn ich versuche nach Gauß-Verfahren eine Unbekannte zu eliminieren, ich mir nur eine andere Unbekannte in die Gleichung einbringe. Also was tun? Schon mal Danke im Vorraus für die Hilfe!!! um deine ebene in der parameterfreien darstellung anzugeben, musst du zuerst einen normalvektor dazu finden. das machst du, indem du das kreuzprodukt der beiden richtungsvektoren der ebene bildest, also AB (kreuz) AF. das ist dann dein Normalvektor n. jetzt brauchst du: P ist in dem fall ein punkt, der auf der ebene liegt, also zb A. und X ist einfach (x/y/z). jetzt bildest du auf beiden seiten vom "=" das skalare produkt und schon hast du deine ebene... hilft das schon weiter?! X-y-Ebenengleichungen? (Schule, Mathe, Gleichungen). lg Hey, vielen Dank! Hatte nicht damit gerechnet, überhaupt eine Antwort zu bekommen. Ich denke das wird mir später helfen, aber zuerst habe ich generell das Problem die Gleichung aufzulösen.
Oder muss ich die Formel für die Normalenform in eine der Gleichungen des LGS einsetzen? Wie gesagt, bin halt keine Leuchte.... Folge aber gerne deinem Rat. Finde nur komisch, dass wir das im Unterricht nie explizit so gemacht haben. Und nochmal Danke für die Hilfe! LG na gut... dann werd ich mal versuchen, das in latex zu tippen (bei den folgenden vektoren sollten die zahlen eigentlich untereinander stehen, habs aber nicht hin bekommen... ): jetzt wird das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene gebildet, also von AB und AF und wir kommen auf:... das ist der normalvektor der Ebene, den ich jetzt in die vorher genannte Formel einsetz: das sind jetzt 2 skalare produkte und es kommt raus: jetzt dividierst du die gleichung durch 2 und formst um und kommst auf so... alles klar?! @mowgli92_ Du hast das Boardprinzip nicht verstanden / nicht gelesen! Diesem widerspricht die Veröffentlichung von Komplettlösungen! Damit hast du dem Fragesteller auch nichts Gutes getan, weil du ihm die ganze Rechnung abgenommen hast, welche er selbst durchzuführen hatte.
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