(Letzteres kann nicht passieren, aber das weiß man an dieser Stelle noch nicht). Nun wendet man den Satz von Bolzano-Weierstraß auf die Folge (x n) n ∈ ℕ im Definitionsbereich an. Dies liefert einen Häufungspunkt p der Folge, und man zeigt nun mit Hilfe der Stetigkeit von f im Punkt p, dass die Funktion f im Punkt p wie gewünscht ihr Maximum annimmt. Eine analoge Argumentation oder ein Übergang zu −f zeigt die Annahme des Minimums. Eine stetige Funktion auf einem Intervall [ a, b] kann ihr Maximum und ihr Minimum mehrfach annehmen, man betrachte etwa den Kosinus auf dem Intervall [ 0, 6 π]. Eine konstante Funktion nimmt sogar in jedem Punkt ihr Minimum und ihr Maximum an. Umgekehrt gilt: Ist das Minumum einer Funktion gleich ihrem Maximum, so ist die Funktion konstant. Der Extremwertsatz ist für stetige Funktionen, die auf offenen oder halboffenen Intervallen definiert sind, im Allgemeinen nicht mehr gültig: Beispiele (1) Die Funktion f:] 0, 1] → ℝ mit f (x) = 1/x nimmt ihr Minimum 1 im Punkt 1 an, aber ihr Wertebereich [ 1, +∞ [ ist nach oben unbeschränkt und hat kein Maximum.
Satz (Extremwertsatz, Annahme von Maximum und Minimum) Sei f: [ a, b] → ℝ stetig. Dann ist f beschränkt und es gibt p, q ∈ [ a, b] mit: (a) f (p) ist das Maximum des Wertebereichs von f, d. h., es gilt f (x) ≤ f (p) für alle x ∈ [ a, b], (b) f (q) ist das Minimum des Wertebereichs von f, d. h., es gilt f (q) ≤ f (x) für alle x ∈ [ a, b]. Der Extremwertsatz ist vielleicht ähnlich einleuchtend wie der Zwischenwertsatz. Eine stetige Funktion muss auf dem Weg von f (a) nach f (b) irgendwann einen maximalen und irgendwann einen minimalen Wert erreichen und annehmen, das kennen wir von jeder Bergwanderung. Auch hier gilt wieder, dass ein Beweis unerlässlich ist. Anschauungen ersetzen keine Beweise, und zudem basiert die Anschauung sehr stark auf einem "zeichenbaren Funktionsgraphen", was den Stetigkeitsbegriff nicht voll einfängt. Beweisskizze Diesmal ist es der Satz von Bolzano-Weierstraß, der zum Beweis herangezogen wird, also erneut ein relativ starkes und abstraktes Geschütz. Man startet mit einer Folge (f (x n)) n ∈ ℕ im Wertebereich von f, die gegen das Supremum des Wertebereichs konvergiert, falls dieser nach oben beschränkt ist, und gegen +∞ im anderen Fall.
\(\left| {{a_n} - \eta} \right| < \varepsilon\) Satz von Bolzano und Weierstraß Der Satz von Bolzano und Weierstraß besagt, dass jede beschränkte unendliche Zahlenfolge ⟨a n ⟩ zumindest einen Häufungswert h besitzt. Eine Folge ist dann beschränkt, wenn es ein endliches Intervall gibt, in dem alle der unendlich vielen Folgenglieder liegen. Grenzwert bzw. Limes Eine Zahl g heißt Grenzwert einer unendlichen Folge ⟨a n ⟩, wenn in jeder Umgebung von g fast alle Glieder der Folge liegen. \(\mathop {\lim}\limits_{n \to \infty} {a_n} = g\) Wenn es einen Grenzwert gibt, so ist dieser auch ein Häufungswert. Die Umkehrung gilt nicht, weil es Folgen gibt, die zwar einen oder mehrere Häufungswerte aber keinen Grenzwert besitzen. \(\eqalign{ & \mathop {\lim}\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0 = {\text{Grenzwert}} \cr & \mathop {\lim}\limits_{n \to \infty} {\left( { - 1} \right)^n} = \pm 1 = {\text{2 Häufungswerte}}{\text{, kein Grenzwert}} \cr} \) Nullfolge Eine Folge ⟨a n ⟩ ist e ine Nullfolge, wenn sie gegen den Grenzwert Null konvergiert.
Und so weiter, bis die n-te Teilfolge auch in der letzten Komponente konvergiert. Unendlichdimensionale Vektorräume Der Satz von Bolzano-Weierstraß gilt nicht in unendlichdimensionalen normierten Vektorräumen. So ist z. B. die Folge der Einheitsvektoren (0, 0,..., 0, 1, 0,..., 0,... ) im Folgenraum beschränkt, hat aber keinen Häufungspunkt, da alle Folgenglieder einen Abstand von voneinander haben. Dieses Gegenbeispiel lässt sich auf beliebige unendlichdimensionale normierte Räume verallgemeinern, man kann darin immer eine unendliche Folge von Vektoren der Länge 1 konstruieren, die untereinander paarweise einen Abstand von wenigstens 1/2 besitzen. Als Ersatz für den Satz von Bolzano-Weierstraß in unendlichdimensionalen Vektorräumen existiert in reflexiven Räumen folgende Aussage: Jede beschränkte Folge eines reflexiven Raumes besitzt eine schwach konvergente Teilfolge. Zusammen mit den sobolevschen Einbettungssätzen liefert die Existenz von schwach konvergenten Teilfolgen beschränkter Folgen häufig Lösungen von Variationsproblemen und damit partiellen Differentialgleichungen.
Er hat aber eine… … Deutsch Wikipedia Satz von Picard — Die Sätze von Picard (nach Émile Picard) sind Sätze der Funktionentheorie, eines Teilgebietes der Mathematik. Sie lauten wie folgt: Der Kleine Satz von Picard besagt, dass das Bild jeder nicht konstanten ganzen Funktion die gesamte komplexe… … Deutsch Wikipedia Satz von Rolle — Der Satz von Rolle (benannt nach dem französischen Mathematiker Michel Rolle) ist ein zentraler Satz der Differentialrechnung. Er sagt aus, dass eine Funktion f, die im abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig und im offenen Intervall (a, b)… … Deutsch Wikipedia Satz von Bolzano-Weierstraß — Der Satz von Bolzano Weierstraß (nach Bernard Bolzano und Karl Weierstraß) ist ein Satz der Analysis. Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 1. 1 Erste Fassung 1. 2 Zweite Fassung 2 … Deutsch Wikipedia Satz von Lindemann-Weierstraß — Der Satz von Lindemann Weierstraß ist ein zahlentheoretisches Ergebnis über die Nichtexistenz von Nullstellen bei gewissen Exponentialpolynomen, woraus dann beispielsweise die Transzendenz der eulerschen Zahl e und der Kreiszahl π folgt.
Jede unbeschränkte Folge divergiert. Eine divergierende Folge ist unbeschränkt. \({\text{Supremum}} = \infty \): Wenn das Supremum "unendlich" ist, dann ist die Folge nach oben unbeschränkt \({\text{Infimum}} = - \infty \) Wenn das Supremum "minus unendlich" ist, dann ist die Folge nach unten unbeschränkt Monotonie einer Folge Die Monotonie einer Folge gibt an ob und wie die Werte der Folge steigen, fallen, konstant bleiben oder alternieren (d. h. das Vorzeichen wechseln). Der nachfolgende Wert ist... \({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} \geqslant {a_n};}\) monoton wachsend größer gleich dem vorhergehenden Wert \({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} > {a_n};}\) streng monoton wachsend größer dem vorhergehenden Wert \({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} \leqslant {a_n};}\) monoton fallend kleiner gleich dem vorhergehenden Wert \({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} < {a_n};}\) streng monoton fallend kleiner dem vorhergehenden Wert Alternierende Folge: \({a_n} = {\left( { - 1} \right)^n} = 1, \, \, - 1, \, \, 1, \, \, - 1,.. \)
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