Mit mehr Übung werden Exponentialgleichungen und die Graphen von Exponentialfunktionen bald kein Problem mehr sein!
Deshalb ist der obige Graph von y=1xy=1^xy=1x einfach eine Gerade. Im Fall von y=2xy=2^xy=2x und y=3xy=3^xy=3x (nicht abgebildet) sehen wir dagegen eine zunehmend steiler werdende Kurve für unseren Graphen. Wie man Gleichungen für Exponentialfunktionen findet | Mefics. Das liegt daran, dass mit steigendem x der Wert von y immer größer wird, was wir "exponentiell" nennen. Nun, da wir eine Vorstellung davon haben, wie Exponentialgleichungen in einem Graphen aussehen, lassen Sie uns die allgemeine Formel für Exponentialfunktionen angeben: y=abd(x-c)+ky=ab^{d(x-c)}+ky=abd(x-c)+k Die obige Formel ist ein wenig komplizierter als die vorherigen Funktionen, mit denen Sie wahrscheinlich gearbeitet haben, also lassen Sie uns alle Variablen definieren. y – der Wert auf der y-Achse a – der vertikale Streckungs- oder Stauchungsfaktor b – der Basiswert x – der Wert auf der x-Achse c – der horizontale Translationsfaktor d – der horizontale Streckungs- oder Stauchungsfaktor k – der vertikale Translationsfaktor In dieser Lektion werden wir nur sehr grundlegende Exponentialfunktionen durchgehen, so dass Sie sich über einige der oben genannten Variablen keine Gedanken machen müssen.
Exponentialfunktionen der Form $$y=a*b^x$$ Erinnerst du dich, dass du Parabeln strecken und stauchen kannst? Das geht auch mit Exponentialfunktionen. In der Funktionsgleichung wird ein Parameter $$a$$ hinzugefügt: $$y=a*b^x$$. Die Eigenschaften der Funktion verändern sich dann. Betrachte zunächst wieder ein Beispiel: $$y=3*2^x$$ und im Vergleich dazu nochmals die Funktion $$y=2^x$$. Die Exponentialfunktionen $$y=2^x$$ und $$y=3*2^x$$ Sieh dir die Wertetabelle an: Wie du siehst, verdoppeln sich bei beiden Funktionen die y-Werte in jedem Schritt. Exponentialfunktion durch zwei Punkte bestimmen | Mathelounge. Der Faktor $$3$$ bewirkt, dass jeder y-Wert von $$3*2^x$$ das Dreifache von $$2^x $$ ist. Für das Berechnen der y-Werte sind die Potenzgesetze hilfreich: Für Potenzen $$a^b$$ mit $$a \in \mathbb{R}$$ und $$b \in \mathbb{Z}$$ gilt: $$a^-b=1/{a^b}$$ und $$a^0=1$$. Potenzieren geht vor Strichrechnung! Die Graphen von $$y=2^x$$ und $$y=3*2^x$$ Betrachte nun die Graphen beider Funktionen. Wie du erkennen kannst, bewirkt der Faktor 3 eine Streckung des Graphen in y-Richtung um den Faktor 3.
Übersicht Basiswissen Exponentialfunktionen gibt es in verschiedenen Varianten. Jede Variante hat einen eigenen Lösungsweg. Diese sind hier kurz angedeutet. Grundlegende Lösungsidee Man setzt beide Punkte in den Grundbauplan der gesuchten Funktionsgleichung ein. Dadurch entstehen zwei Gleichungen mit Unbekannten, also ein lineares Gleichungssystem. Dieses löst man. Erweiterte Exponentialfunktion ◦ f(x) = a·c^x ◦ Gegeben (1|2) und (4|0, 25) ◦ Es gibt zwei Unbekannte: a und c ◦ Beide Punkte einsetzen und dann LGS lösen. Untersuchen der Exponentialfunktion 2 – kapiert.de. ◦ Ausführliche Erklärung steht auf der Seite: ◦ => Erweiterte Exponentialfunktion aus zwei Punkten Einfache Exponentialfunktion ◦ f(x) = a^x ◦ Gegeben: (3|8) und (5|32) ◦ Es gibt nur eine Unbekannte: a ◦ Man bestimmt a mit einem der zwei Punkte. ◦ Mit dem anderen Punkte macht man dann eine Probe. ◦ Ersten Punkte einsetzen: ◦ 8 = a^3 | dritte Wurzel ◦ Mögliche Lösung: f(x) = 2^x ◦ 2 = a | Probe mit zweitem Punkt: ◦ 32 = 2^5, also: ◦ f(x) = 2^x ✔ Einfache e-Funktion ◦ f(x) = e^x ◦ Es gibt keine Unbekannte.
Mit der kannst du dann weiterrechnen. $$a)$$ Veränderung pro 1 Zeiteinheit: Beispiel: Ein Anfangsbestand von 75 vervierfacht sich jede Stunde ($$x$$ →1 Stunde). Dann ist $$a=75$$ (der Anfangsbestand) und $$b=4$$ (Wachstumsfaktor, Vervierfachung pro Stunde). Also: $$y=75*4^x$$. $$b)$$ Veränderung bei beliebiger Zeiteinheit Beispiel: Ein Anfangsbestand von 75 vervierfacht sich alle 3 Stunden (x → 1 Stunde). $$a$$ ist immer noch 75. Der Wachstumsfaktor muss sich nun aber verändern, weil eine Vervierfachung nun erst nach 3 Stunden erfolgt. So sieht das in der Wertetabelle aus: Die Pfeildarstellung entspricht der Gleichung $$b*b*b=b^3=4$$ |3. Wurzel ziehen $$⇔ b=root(3)4$$ $$⇒ y=75*$$ $$(root(3) 4)^x$$. Tipp: Beachte die Sätze mit um und auf. Beispiel: Ein Anfangsbestand von 18 nimmt pro Stunde um 10% ab. Das heißt, dass nach 1 Stunde noch 90% da sind. Prozentangaben wandelst du in Dezimalzahlen um. Also: $$y = 18 *0, 9^x$$. kann mehr: interaktive Übungen und Tests individueller Klassenarbeitstrainer Lernmanager
◦ Man macht lediglich mit beiden Punkten eine Punktprobe. ◦ Geht sie auf, ist f(x) = e^x eine passende Funktionsgleichung. ◦ Geht die Probe nicht auf, passt f(x) = e^x nicht. ◦ Siehe auch unter => Punktprobe Allgemeine Exponentialfunktion ◦ f(x) = a·c^(mx+b) ◦ Man hat vier Unbekannte: a, c, m und b ◦ Um die Gleichung eindeutig zu bestimmen benötigt man 4 Punkt. ◦ Diese setzte man alle ein. Es entsteht ein LGS mit vier Gleichungen. ◦ Dieses muss man dann lösen => LGS lösen
Variable "c" Lassen Sie uns den Graphen von y=2xy=2^xy=2x mit einer anderen Exponentialgleichung vergleichen, bei der wir "c" ändern, und wir erhalten y=2(x-2)y=2^{(x-2)}y=2(x-2) Vergleiche den Graphen von y = 2^x und y = x^(x-2) Indem wir diese Transformation durchführen, haben wir den gesamten Graphen um zwei Einheiten nach rechts verschoben. Wenn "c" gleich -2 wäre, hätten wir den gesamten Graphen um zwei Einheiten nach links verschoben. Variable "d" Lassen Sie uns den Graphen von y=2xy=2^xy=2x mit einer anderen Exponentialgleichung vergleichen, bei der wir "d" ändern, Wir erhalten y=24xy=2^{4x}y=24x Vergleiche den Graphen von y = 2^x und y = 2^(4x) Durch diese Transformation, haben wir den ursprünglichen Graphen von y=2xy=2^xy=2x um seine x-Werte gestreckt, ähnlich wie die Variable "a" die Funktion um ihre y-Werte modifiziert. Wäre "d" in diesem Beispiel negativ, würde die Exponentialfunktion eine horizontale Spiegelung erfahren, im Gegensatz zur vertikalen Spiegelung mit "a". Variable "k" Lassen Sie uns den Graphen von y=2xy=2^xy=2x mit einer anderen Exponentialgleichung vergleichen, bei der wir "k" modifizieren, Wir erhalten y=2x+2y=2^x+2y=2x+2 metrische Umrechnungstabelle (Länge) Durch diese Transformation, haben wir den ursprünglichen Graphen von y=2xy=2^xy=2x um zwei Einheiten nach oben übersetzt.
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