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Dadurch werden sämtliche Koordinaten verdoppelt! 2 * (-1/3/1, 5) d. (-2/6/3) 3. Schritt: Wir addieren den erweiterten Normalvektor zu den Koordinaten der Grundfläche und erhalten D, E, F D = A + 2 * vn d. D = (0/0/0) + (-2/6/3) d. D = (-2/6/3) E = B + 2 * vn d. E = (12/8/24) + (-2/6/3) d. E = (10/14/27) F = C + 2 * vn d. F = (-18/9/6) + (-2/6/3) d. F = (-20/15/9) c) Berechne das Volumen: 1. Schritt: Wir berechnen die Grundfläche: Wir verwenden den ungekürzten Normalvektor der Grundfläche: | v n|= √(168² + 504² + 252²) | v n|= 588 Da es sich um ein Dreieck handelt halbieren wir diesen: Gf = 588: 2 Gf = 294 FE 2. Schritt: Wir berechnen das Volumen Die Höhe entnehmen wir der Angabe: V = Gf * h V = 294 * 7 V = 2 058 VE d) Berechne die Oberfläche: 1. Schritt: Wir berechnen eine Seitenfläche: v AB (12/8/24) siehe oben! v AD (-2/-6/3) - (0/0/0) d. (-2/-6/3) Kreuzprodukt: (12/8/24) x (-2/-6/3) d. v n = (168/84/56) Betrag des Normalvektors: | v n|= √(168² + (84)² + 56²) d. Höhe dreiseitige pyramide vektorrechnung aufgaben. SF = 196 FE 2. Schritt: Oberflächenberechnung: O = 2 * Gf + M O = 2 * Gf + 3 * SF O = 2 * 294 + 3 * 196 O = 1 176 FE
Aufgabe: Gegeben: Ein gerades dreiseitiges Prisma hat die Grundfläche ABC [A(0/0/0), B (12/8/24), C (-18/9/6)] und die Höhe h = 7. a) Zeige, dass ABC ein rechtwinkliges Dreieck ist! b) Berechne die Koordinaten der Eckpunkte der Deckfläche DEF (Z D > 0) c) Berechne das Volumen d) Berechne die Oberfläche Lösung: 1. Schritt: Wir ermitteln die Vektoren v AB und v AC v AB = (12/8/24) - (0/0/0) d. f. (12/8/24) v AC = (-18/9/6) - (0/0/0) d. (-18/9/6) 2. Schritt: Wir multiplizieren die beiden Vektoren (12/8/24) * (-18/9/6) = -216 + 72 + 144 = 0 Die Vektoren stehen im rechten Winkel aufeinander! A: Die Multiplikation beider Vektoren ergibt 0, daher stehen sie im rechten Winkel aufeinander! 1. Schritt: Wir ermitteln mit den Vektoren vAB und vAC den (gekürzten) Normalvektor! v AB = (12/8/24) v AC = (-18/9/6) Kreuzprodukt: (12/8/24) * (-18/9/6) d. Vierseitige Pyramide Vektorrechnung? (Schule, Mathematik, Vektoren). v n (-168/+504/252) Wir kürzen durch 168! d. v n = (-1/+3/1, 5) 2. Schritt: Wir ermitteln den Betrag des Normalvektors: |vn| = √((-1)² + (+3)² + 1, 5²) |vn| = 3, 5 Anmerkung: Da die Höhe ein Vielfaches des Betrages des Normalvektors darstellt müssen wir 3, 5 mit 2 erweitern, um 7 zu erhalten.
Ist die Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck, so spricht man von einer geraden regelmäßigen Pyramide.
In diesem Falle kann man das Pyramidenvolumen ganz ohne Vektorrechnung bestimmen: Die Seiten der rechteckigen Grundfläche haben die Längen 6 und 7. Das Maß der Grundfäche ist also G=42. Die Formel für ein Pramidenvolumen ist V=G/3·h und hier: V=42/3·7=98. Wenn du die vektorielle Lösung brauchst, musst du zuvor wissen, was ein Vektorprodukt und was ein Spatprodukt ist und was es jeweils geometrisch bedeutet. Höhe dreiseitige pyramide vektorrechnung ebenen. Aber wie kann ich nachweisen, dass die Pyramide gerade ist? Die Pyramide ist gerade, wenn ihre Spitze sich genau über dem Mittelpunkt ihrer Grundfläche befindet, bzw. wenn das Lot von der Spitze auf die Grundfläche genau durch den Mittelpunkt der Grundfläche geht. Der Mittelpunkt der Grundfläche ist der Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(AC\) (der Diagonalen), da die Grundfläche mindestens ein Parallelogramm ist (sie ist ein Rechteck! ). Es ist $$M = \frac12 \left( A + B\right) = \frac12 \left( \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ -1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3\\ 7\\ -1\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 0\\ 3, 5\\ -1\end{pmatrix} $$ Die Grundfläche liegt parallel zur XY-Ebene, da die Z-Koordinaten der Punkte \(A\) bis \(D\) identisch sind \((z=-1)\).
Mit dem Satz des Pythagoras gilt dann \(\displaystyle h = \sqrt{s^2-\frac 1 2 e^2} = \sqrt{s^2-\frac 1 2 f^2}\) Man kann noch weitere rechtwinklige Dreiecke in der vierseitigen, insbesondere der quadratischen Pyramide definieren, womit sich die Mantelfläche und damit die Oberfläche bestimmen lässt. Schneidet man eine Pyramide parallel zur Grundfläche G durch, erhält man eine kleinere Pyramide und einen Pyramidenstumpf. Die Seitenflächen eines rechteckigen bzw. Höhe dreiseitige pyramide vektorrechnung winkel. quadratischen Pyramidenstumpfes sind Trapeze. Das Volumen des Pyramidenstumpfs ist das Volumen der urpsrünglichen Pyramide minus das der kleinen Pyramide auf der Schnittfläche: \(\displaystyle V_\text{Stumpf} = \frac 1 3 \left( G \cdot h - G_\text{Schnitt} \cdot \Delta h \right)\)