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Sensationsfund und Aushängeschild des Museums ist die Gesichtsmaske eines römischen Soldaten.
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Kategorie: Arithmetische Folge Übungen Aufgabe: Arithmetische Folge Übung 1 a) Berechne das 25. Glied einer arithmetischen Folge mit a 1 = 4 und d = 3 b) Berechne das 19. Arithmetische folge übungen lösungen kostenlos. Glied einer arithmetischen Folge mit a 1 = -12 und d = 4 Lösung: Arithmetische Folge Übung 1 a) Lösung: a n = a 1 + (n - 1) * d a 25 = 4 + (25 - 1) * 3 a 25 = 76 Das 25. Glied der arithmetischen Folge ist 76. b) Lösung: a 19 = -12 + (19 - 1) * 4 a 19 = 60 Das 19. Glied der arithmetischen Folge ist 60.
Durch Angabe der Differenz d und des Anfangsgliedes a 1 ist die gesamte Folge bestimmt, denn es gilt: a n = a 1 + ( n − 1) d Beispiel 1: Gegeben: a 1 = 3; d = 4 Gesucht: a 27 Lösung: a 27 = a 1 + 26 ⋅ d = 3 + 26 ⋅ 4 = 107 Auch durch Angabe eines beliebigen Gliedes a i und der Differenz d ist die arithmetische Folge eindeutig bestimmt. Arithmetische Folgen und Reihen. Beispiel 2: Gegeben: a 7 = 33; d = 5 Gesucht: a 1 Lösung: a 1 = a 7 − 6 ⋅ d = 33 − 30 = 3 Kennt man das Anfangsglied a 1 und ein beliebiges anderes Glied einer arithmetischen Folge, kann man die Differenz berechnen. Es gilt: Beispiel 3: Gegeben: a 1 = 2, 5; a 9 = 12, 5 Gesucht: d Lösung: d = a 9 − a 1 8 = 10 8 = 5 4 = 1, 25 Kennt man zwei beliebige Glieder einer arithmetischen Folge, kann man daraus das Anfangsglied a 1 und die Differenz d berechnen, indem das entsprechende Gleichungssystem mit zwei Unbekannten gelöst wird. Beispiel 4: Gegeben: a 3 = − 3; a 8 = 22 Gesucht: a 1; d Lösung: a 3 = a 1 + 2 d = − 3 a 8 = a 1 + 7 d = 22 ¯ 5 d = 25 ⇒ d = 5 a 1 = − 13 Eine arithmetische Folge ist genau dann monoton wachsend (steigend), wenn d > 0 ist, sie ist genau dann monoton fallend, wenn d < 0 ist.
Lösung der Teilaufgabe a): In jeder Reihe liegt ein Rohr weniger als in der vorhergehenden. Damit ergibt sich die (endliche) Zahlenfolge ( a n) = { 12; 11;... ; 2; 1}. Hierbei handelt es sich um eine arithmetische Folge mit a 1 = 12; d = − 1 und n = 12. Gesucht ist s 12. Für die Summe s 12 gilt: s n = n 2 ( a 1 + a n) s 12 = 6 ⋅ ( 12 + 1) = 78 Es können 78 Rohre gestapelt werden. Lösung der Teilaufgabe b): Es gilt s n ≥ 140; d = − 1 und a 1 = n. Dann folgt: s n = n 2 ( n + 1) = n 2 + n 2 ≥ 140 Das führt auf die quadratische (Un-)Gleichung n 2 + n − 280 ≥ 0 mit den formalen Lösungen n 1; 2 ≥ − 0, 5 ± 180, 25. Da n eine natürliche Zahl sein muss, erhalten wir als (einzige) Lösung n = 17. Anmerkung: Für die Summe s n der ersten n natürlichen Zahlen gilt s n = n 2 + n 2. Beispiel 2 In einem Zirkuszelt befinden sich in der ersten Sitzreihe 80 Plätze, in jeder der darüber angeordneten Reihen jeweils sechs Plätze mehr. Insgesamt gebt es zehn Sitzreihen. Wie viel Plätze sind im Zelt? MATHE.ZONE: Aufgaben zu Folgen. Lösung: Es handelt sich um eine arithmetische Folge mit a 1 = 80; d = 6 und n = 10, und es gilt: s n = n 2 [ 2 a 1 + ( n − 1) ⋅ d] s 10 = 5 ( 2 ⋅ 80 + 9 ⋅ 6) = 5 ⋅ 214 = 1070 Im Zelt gibt es 1070 Plätze.
Nach knapp 88 Tagen sind noch 5 mg I-131 vorhanden. Anmerkung: Hier zeigt sich die Grenze des mathematischen Modells Zahlenfolgen mit ihrem diskreten Definitionsbereich. Genauer kann der Sachverhalt mithilfe von Exponentialfunktionen beschrieben werden. Beispiel 4 Für den Bau eines Brunnens wird eine Bohrung durchgeführt. Dabei kostet der erste Meter 15 Euro und jeder weitere 5% mehr als der vorhergehende. Wie hoch werden die Kosten für eine Bohrtiefe von 40 m? Lösung: Es gilt a n = a n − 1 ⋅ 1, 05. Damit liegt eine geometrische Folge mit a 1 = 15 und q = 1, 05 vor. Arithmetische folge übungen lösungen und fundorte für. Die Kosten für den vierzigsten Meter errechnen sich wie folgt: a 40 = a 1 ⋅ q 39 = 15 ⋅ 1, 05 39 ≈ 100, 57 Interessanter ist natürlich die Frage nach den Gesamtkosten. Diese errechnen sich nach der Formel für die Partialsumme einer geometrischen Folge: s 40 = 15 ⋅ 1, 05 40 − 1 1, 05 − 1 ≈ 1 812 Die Gesamtkosten belaufen sich damit auf etwa 1812 Euro. Beispiel 5 Ein Bogen Papier habe eine Stärke von 0, 20 mm. Er wird 15-mal jeweils in der Mitte gefaltet.
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