3, 5k Aufrufe Wie berechnet man den Kern einer Matrix? Ich weiß, dass der Kern nur existiert, wenn die Determinante der Matrix gleich Null ist. Kann mir das jemand an folgendem Beispiel erklären? (1 2 3 4 5 6 7 8 9) Gefragt 11 Aug 2014 von 4 Antworten Kern von berechnen, die 3. Gleichung ist überflüssig (lin. abh::x + 2y + 3z = 0 (I) 4x + 5y + 6z = 0 (II) (II) - (I) x + y + z = 0 Sei z = 1 x + 2y + 3 =0 x + y + 1 = 0 ----------------- (-) y + 2 = 0 → y = -2 in (II)' x -2 + 1 = 0 ------> x = 1 (1, -2, 3) ist ein Element des Kerns K = {t (1, -2, 1) | t Element R} Anmerkung: Vektoren fett. Beantwortet Lu 162 k 🚀 (A) = I 123 456 789 I = 0 Ansatz ( 123 456 789) * ( v1 v2 v3) = ( 0 0 0) v1 +2v2+3v3 = 0 - 3v2 - 6v3 = 0 0=0 v3 ---> 1 ----> -3v2 * 6*1 = -2 v1+2*(-2)+3*1 = 0 v1 = 1 Kern ------> ( 1 -2 1), Kern sind alle Vielfachen des Vektors! mathe 12 2, 3 k Hi, vielleicht hast Du die von dir angedeutete Aussage von der Seite " Den Kern einer Matrix bestimmen/ausrechnen/ablesen - ein Beispiel ".
15. 07. 2015, 11:23 Snoopy1994 Auf diesen Beitrag antworten » kern bzw. span einer matrix berechnen Meine Frage: Ich habe die Matrix (1 -1 1 0) (0 0 0 0) (1 -1 -1 0) und daraus sollte man den kern berechnen und als lösung kam span={ (1 1 0 0), (1 0 1 0), (0 0 0 1)} ich weiß nicht wie man hier auf die lösung kommt. wäre nett wenn mir das jemand erklären könnte. danke schonmal im voraus Meine Ideen: ich hab versucht die gleichung aufzulösen aber habs nicht hinbekommen 15. 2015, 11:40 Elvis Das glaube ich nicht. Die Matrix hat den Rang 2, also sind Kern und Bild der zugehörigen linearen Abbildung jeweils 2-dimensional. Du redest von einer Gleichung. Wo ist die Gleichung? 15. 2015, 11:48 Das ist eine matrix. diese lösung haben wir so von meinem prof aufgeschrieben bekommen 15. 2015, 12:26 Eine Matrix ist nur ein rechteckiges (hier ein quadratisches) Schema mit Einträgen aus einem Koeffizientenbereich. Hier stehen 16 Zahlen -1, 0, 1. Das können z. B. reelle Zahlen sein, oder Elemente des endlichen Körpers oder sonst etwas.
Die häufigste Art, eine solche Matrix zu lösen, ist der Gaußalgorithmus, in dem die Matrix auf Stufenform gebracht wird, so dass sie folgende Form hat: Allgemein Wenn man diese Form erreicht hat, führt man entweder die Matrix wieder auf Gleichungen zurück und löst diese dann oder man formt weiter um, mit der Eigenschaft: d. h. die Matrix hat in der Diagonale 1 und sonst überall 0. Rang einer Matrix Formt man die Matrix zu einer Stufenform um, lässt sich leicht erkennen, welche Zeilen 0 werden. Die Anzahl der Nicht-Nullzeilen ist dann der Rang der Matrix. Besitzt eine Matrix keine Nullzeile so hat sie vollen Rang. A = ( a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ a r 1 ⋯ a r n 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0) \mathrm A=\begin{pmatrix}{\mathrm a}_{11}&\cdots&{ a}_{1n}\\\vdots&&\vdots\\{ a}_{r1}&\cdots&{ a}_{rn}\\0&\cdots&0\\\vdots&&\vdots\\0&\cdots&0\end{pmatrix} Rang von A = rg ( A) = r A = \text{rg}(A) = r Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4. 0. → Was bedeutet das?
Stellt euch vor, dass der Vektor wie die Zeilen der Matrix Waagrecht, statt Senkrecht liegt und jeweils ein Wert der Matrix Zeile und ein Wert des Vektors mal genommen und dann mit einem Plus verbunden werden. mit b = ( b 1 ⋮ b n) b=\begin{pmatrix}{ b}_1\\\vdots\\{ b}_ n\end{pmatrix} ⇒ A ⋅ x = b \Rightarrow\; A\cdot x= b ⇒ ∑ i = 1 n a j i x i = b j \;\;\Rightarrow\sum_{i=1}^n a_{ji}{ x}_ i={ b}_ j zugehöriges homogenes System: ⇒ A ⋅ x = 0 ⇒ ∑ i = 1 n a j i x i = 0 \Rightarrow\;\; A\cdot x=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\sum_{i=1}^n a_{ji}{ x}_ i=0\; Lineares Gleichungssystem ⇒ \;\;\Rightarrow\;\; Jedes lineare Gleichungssystem lässt sich als Produkt einer Matrix mit einem Vektor schreiben, wobei A die Koeffizientenmatrix darstellt. Um dies zu lösen wird die Erweiterte Koeffizientenmatrix ( A ∣ b) = ( a b c d e f g h i ∣ b 1 b 2 b 3) \def\arraystretch{1. 25} ( A \mid b) =\left(\begin{array}{ccc} a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\left|\begin{array}{c}{ b}_1\\{ b}_2\\{ b}_3\end{array}\right.
Die sog. identische Abbildung (auch Identität genannt) hat als Matrix die Einheitsmatrix, beispielsweise E 3 im dreidimensionalen Raum. Bildmenge ist der komplette R 3, Kern ist lediglich der Nullvektor und Fixpunktemenge ist ebenfalls der komplette R 3. Wollen Sie für eine beliebige Matrix A den Kern berechnen, so läuft Ihre Arbeit darauf hinaus, ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Denn als Bedingung haben Sie A * x = 0. Berechnet man die linke Seite, so ergeben sich beispielsweise für den dreidimensionalen Fall drei Gleichungen mit den drei Koordinaten des Vektors x als Unbekannte. Wie hilfreich finden Sie diesen Artikel? Verwandte Artikel Redaktionstipp: Hilfreiche Videos 2:16 2:49 Wohlfühlen in der Schule Fachgebiete im Überblick
Struktur A ∈ Mat m × n A\in\text{Mat}_{ m\times n} ( Mat m × n \text{Mat}_{ m\times n} bezeichnet die Menge aller m × n m \times n Matrizen) A A besteht aus m m Zeilen und n n Spalten. Besondere Matrizen Einheitsmatrix Die Einheitsmatrix besitzt in der Diagonale nur Einsen und sonst nur Nullen. Die Größe hängt von der Dimension der Matrix ab. Beispiel: 3 × 3 3\times3 Einheitsmatrix ⇒ E 3 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1) \;\;\Rightarrow\;\;{ E}_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} Diagonalmatrix Die Diagonalmatrix ist der Einheitsmatrix sehr ähnlich. Sie besitzt nur auf der Diagonale Werte und sonst nur Nullen. Diese Werte müssen aber nicht unbedingt 1 sein. ⇒ \;\;\Rightarrow\;\; Einheitsmatrix ist eine besondere Diagonalmatrix.
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