3 Antworten Ich würde n! ≥ 3 * (n/3) ^n vorziehen, das kannst du so beweisen: n=1: 1! ≥ 3 * (1/3) ^ 1 = 1 stimmt. n ⇒ n+1 etwa so: Sei # n! ≥ 3 * (n/3) ^n wahr für n, dann gilt (n+1)! = ( n+1) * n! und wegen # ≥ (n+1) * 3 * (n/3) ^n und wegen ( 1 + 1/n) ^n < e < 3 also ≥ (n+1) * ( 1 +1/n) ^n * (n/3) ^n = (n+1) * ( (n +1) /n) ^n * (n/3) ^n = (n+1) * ( (n +1)^n / n^n) * (n^n /3 ^n) also n^n kürzen gibt = (n+1) * ( (n +1)^n /3 ^n) = 3 * (n+1) / 3 * ( (n +1) /3) ^n = 3 * ( ( n+1) / 3) n+1 q. e. d. Dann ist also n-te wurzel ( n! ) ≥ n-te wurzel ( 3* ( n/3) ^n) = n-te wurzel ( 3) * ( n/3) und n-te wurzel ( 3) geht gegen 1, aber n/3 gegen unendlich. Beantwortet 28 Aug 2016 von mathef 251 k 🚀 Du kannst einen Widerspruchsbeweis durchführen, und zwar indem du das Integral des natürlichen Logarithmus von 0 bis 1 über die Untersumme ermittelst. Du hättest: ∫ ln x. in den Grenzen 0 bis 1 = lim n -> ∞ (1/n) * (ln (1/n) + ln(2*1/n) +... +ln(n*1/n)) = (1/n) * (n*ln(1/n) + ln(1) + ln(2)+... N-te Wurzel — Onlinerechner, Formeln, Graphik. +ln(n)) = (1/n) * (n*ln(1/n) + ln(n! ))
Wir schreiben 1. Wir erlauben auch reelle Argumente, d. h. wir betrachten die Funktion und zeigen, dass diese Funktion für fallend ist; dies gilt dann insbesondere für die natürlichen Zahlen. Da die Exponentialfunktion monoton wachsend ist, genügt es zu zeigen, dass für fallend ist. Dazu ziehen wir Fakt heran und betrachten die Ableitung der differenzierbaren Funktion. N te wurzel aus n l. Diese ist Für ist und somit ist der Zähler negativ, also ist die Funktion negativ. 2. Wir zeigen, dass für gegen konvergiert. Wegen der Monotonie aus Teil 1 kann man statt auch einsetzen, was zur Folge führt. Für diese Folge gilt ihr Grenzwert ist nach dem Quetschkriterium also. Da die Exponentialfunktion stetig ist, konvergiert somit gegen.
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= ln(1/n) + ln(n! ) /n = ln(1/n) + ln(\( \sqrt[n]{n! } \)) Da n gegen unendlich strebt, strebt 1/n gegen Null und somit ln(1/n) gegen -∞. Da ∫lnx in den Grenzen 0 bis 1 = 1 gilt, kann ln(\( \sqrt[n]{n! } \)) kein endliche Wert sein, sondern muss gegen ∞ streben. 25 Feb derButterkeks
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