Erklärung Einleitung Eine Ebene im dreidimensionalen Raum kann beschrieben werden durch die Parameterform einer Ebene Normalenform einer Ebene Koordinatenform einer Ebene. In diesem Artikel lernst du, die Normalenform herzuleiten. Die Normalenform einer Ebene lautet: Hierbei ist der Vektor der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene, also zum Beispiel der Ortsvektor des Aufpunkts und der Vektor ein Normalenvektor der Ebene. Die Normalenform ist nicht eindeutig. Koordinatenform und Normalenform können einfach ineinander überführt werden. 6.7 Normalen- und Koordinatengleichung einer Ebene - Flip the Classroom - Flipped Classroom. Eine Ebene beinhaltet den Punkt und besitzt den Normalenvektor. Eine Normalenform der Ebene lautet dann: Durch Ausführung des Skalarproduktes erhält man eine Koordinatenform der Ebene: Um von der Koordinatenform zur Normalenform zu gelangen, muss man den Normalenvektor ablesen und einen beliebigen Punkt der Ebene wählen, hier zum Beispiel. Dann erhält man für diese Ebene die Normalenform: An dieser Stelle kann man noch einmal erkennen, dass die Normalenform einer Ebene nicht eindeutig ist, sondern mit jedem Punkt, der in der Ebene liegt, gebildet werden kann.
Ermitteln Sie wieder die Koordinaten des Berührpunktes Berechnen Sie die Steigung k der Tangente Rechnen Sie die Steigung k in die Steigung k n der Normale um. Setzen Sie Punkt und Steigung k n in die allgemeine Geradengleichung ein. Beispiel: Von folgender Funktion soll die Normalengleichung an der Stelle x=2. 5 ermittelt werden (Siehe Abbildung): Normalengleichung Manchmal kann es erforderlich sein eine Gerade zu finden, die normal zur Tangente eines Punktes der Kurve liegt. Die Schritte sind ähnlich wie beim Erstellen der Tangentengleichung. Ist nämlich die Steigung k der Tangente gegeben, so kann man mit folgendem Zusammenhang leicht die Steigung der Normale k n ermitteln: Eine Normale an der Stelle 2. 5 Steigung der Normale: 1. Ermitteln des Berührpunktes 2. Berechnen der Steigung k 3. Berechnen der Steigung k n 4. Einsetzen in die Geradengleichung Die endgültige Normalengleichung an der Stelle x=2. Normalengleichung einer eben moglen. 5 lautet somit:
Die folgende Abbildung zeigt zwei derartige Punkte P 1 u n d P 2, die Projektionen der Ortsvektoren p 1 → u n d p 2 → sind dabei rot markiert. Aus dieser Abbildung wird auch deutlich, dass alle diese durch (2) und (3) beschriebenen Punkte eine Ebene ε bilden, auf der der Vektor n → senkrecht steht. Ist P ein Punkt dieser Ebene ε, so lässt sich Gleichung (3) auch wie folgt aufschreiben: n → ⋅ x → = n → ⋅ p → ( m i t | n → | ≠ 0) b z w. Normalenvektor einer Ebene ⇒ verständliche Erklärung. n → ⋅ ( x → − p →) = 0 ( m i t | n → | ≠ 0) ( 4) Häufig multipliziert man (4) noch mit 1 | n → | und erhält mit n 0 → = n → | n → | die folgende Gleichung: n 0 → ⋅ ( x → − p →) = 0 ( 5) Der Vektor n 0 → hat den Betrag 1 und steht senkrecht auf ε, daher wird er auch Orthonormalenvektor der Ebene ε genannt. Anmerkung: Offenbar gibt es zu jeder Ebene ε genau zwei verschiedene Orthonormalenvektoren. Durch die Gleichungen (2), (4) und (5) werden also Ebenen im Raum beschrieben und offenbar kann umgekehrt jede Ebene des Raumes auf diese Weise beschrieben werden.
Der Normalenvektor muss hierbei die Länge eins haben und vom Koordinatenursprung in Richtung der Ebene zeigen. Man erhält die hessesche Normalform aus der Normalenform durch Normierung und Orientierung des Normalenvektors sowie durch anschließende Wahl von. Normalengleichung einer ebenezer. Die hessesche Normalform erlaubt eine effiziente Berechnung des Abstands eines beliebigen Punkts im Raum zu der Ebene, denn das Skalarprodukt entspricht gerade der Länge der Orthogonalprojektion eines beliebigen Vektors auf die Ursprungsgerade mit Richtungsvektor. Verallgemeinerungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Auch in höherdimensionalen Räumen können Ebenen betrachtet werden. Eine Ebene ist dann eine lineare 2-Mannigfaltigkeit im -dimensionalen euklidischen Raum. Die Parameterform und die Dreipunkteform behalten ihre Darstellung, wobei lediglich mit -komponentigen statt dreikomponentigen Vektoren gerechnet wird. Durch die impliziten Formen wird allerdings in höherdimensionalen Räumen keine Ebene mehr beschrieben, sondern eine Hyperebene der Dimension.
Ebenengleichungen und ihre Beziehungen Eine Ebenengleichung ist in der Mathematik eine Gleichung, die eine Ebene im dreidimensionalen Raum beschreibt. Eine Ebene besteht dabei aus denjenigen Punkten in einem kartesischen Koordinatensystem, deren Koordinatenvektoren die Ebenengleichung erfüllen. Stehen die einzelnen Koordinaten der Ebenenpunkte in einer Gleichungsbeziehung, spricht man von einer Koordinatengleichung, zu denen die Koordinatenform und die Achsenabschnittsform gehören. Stehen die Ortsvektoren der Ebenenpunkte in der Gleichung, handelt es sich um eine Vektorgleichung, zu denen die Parameterform und die Dreipunkteform gehören. Die Normalengleichung und die Koordinatengleichung einer Ebene. Enthält die Gleichung einen Normalenvektor der Ebene, so spricht man von einer Normalengleichung, zu denen die Normalenform und die Hessesche Normalform gehören. Durch Vektorgleichungen können auch Ebenen in höherdimensionalen Räumen dargestellt werden, während Koordinatengleichungen und Normalengleichungen in diesem Fall Hyperebenen beschreiben. Koordinatengleichungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] In der analytischen Geometrie wird jeder Punkt im dreidimensionalen Raum mit Hilfe eines kartesischen Koordinatensystems durch ein Koordinatentupel identifiziert.
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