In diesem Artikel erfährst du alles über die Periodizität. Wir erklären dir, was man unter der Periodizität versteht und wie du periodische Funktionen bestimmen kannst. Außerdem gehen wir zwei Übungsaufgaben durch, um dir praktische Erfahrungen zu geben. Dieses Thema gehört zur Mathematik und es lässt sich unter Eigenschaften von Funktionsgraphen einordnen. Am Ende dieses Artikels findest du eine Zusammenfassung, die alle wichtigen Punkte dieses Themas enthält. Was versteht man unter der Periodizität? Die Periodizität in der Mathematik beschreibt Funktionen, bei denen sich die Funktionswerte bzw. y-Werte in regelmäßigen Abständen wiederholen. Diese Funktionen werden aufgrund dieser Eigenschaft auch als periodisch bezeichnet. Die Graphen von periodischen Funktionen sind verschiebungssymmetrisch d. h. die Funktionswerte überdecken sich bei einer Verschiebung in x-Richtung durch den Parameter p oder k*p, falls dies noch im Definitionsbereich liegt. Gute Beispiele von periodischen Funktionen sind die Kosinus-und Sinusfunktionen, die eine Periode von 2π aufweisen.
Lesezeit: 4 min Periode kommt vom griechischen "periodos" und heißt "umrunden" und meint eine Wiederholung. Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen, das heißt, sie wiederholen sich in ihrem Verlauf. Beim Einheitskreis können wir 360° um den Kreis gehen, danach sind wir an der gleichen Position ( 360° = 0°). In diesem zweiten Kreisumlauf können wir die Winkel um +360° erhöht betrachten. Das hatten wir auch bei den Identitäten gesehen. 420° hat den gleichen Sinuswert wie 60°, also sin(420°) = sin(60° + 360°) = sin(60°). Das gleiche Prinzip gilt für den Kosinus. Die Sinuswerte wiederholen sich immer mit jeder Kreisumrundung, also +360°, obwohl sich die Winkelwerte erhöhen. Sinuskurve In der Abbildung der Graph f(x) = sin(x): ~plot~ sin(x*pi/180);[ [-400|400|-1, 2|1, 2]];hides ~plot~ Die Schwingung wiederholt sich, sie ist periodisch. Gleiches gilt für den Kosinus. Kosinuskurve In der Abbildung der Graph f(x) = cos(x): ~plot~ cos(x*pi/180);[ [-400|400|-1, 2|1, 2]];hides ~plot~ Die Kosinusfunktion ist periodisch, sie wiederholt sich immer in ihren Werten.
Mit der eingesetzt sieht unsere Formel nun so aus: sin(x) = sin(k*2π + x) Wir können die Richtigkeit wieder kurz prüfen, indem wir das zuvor gegebene Beispiel nehmen. Hier setzen wir k einfach mal 2: sin(π) = sin(2*2π + π) sin(π) = sin(5π) Wir können aus dem Graphen sehen, dass die Formel richtig ist. Wir haben bis jetzt für die Periodizität immer 2π verwendet, aber nicht jede periodische Funktion hat die gleiche Periode. Daher verwenden wir einen weiteren Parameter, der die Periode beschreibt. Diesen Parameter nennen wir p. Außerdem muss unsere Formel auch andere periodische Funktionen darstellen können. Daher sieht unsere Formel jetzt so aus: f(x) = f(k*p + x) Schließen wir diesen Abschnitt jetzt mit zwei Übungsaufgaben ab. 1. Aufgabe: Bestimme die Periode von der Funktion f(x) = sin(3x). In dieser Aufgabe suchen wir einen Wert für die Periode der Funktion, also für p. Den Parameter k können wir erstmal vernachlässigen. An der Funktion können wir sehen, dass sie in x-Richtung gestaucht ist.
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