349 Aufrufe bei folgendem bsp muss ich eine lagrange funktion aufstellen wobei ich einige schwierigkeiten habe, bzw. wenn ich diese dann nach L und K freistellen sollte... Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion auf F(K, L)=K*L^3. Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pK =11 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL =24. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmers unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 620 ME produziert werden soll. Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Kapital in diesem Kostenminimum? Mein Ansatz: L=11k+24L-λ*(K*L^3-620) 1. K: 11-λ*3KL^2 = 0 2. L: 24-λ*3KL^2 = 0 3. λ: -KL^3+620 = 0 ich weiß nicht ob das stimmt, aber nun müsste ich nach K, L und λauflösen/freistellen damit ich weiterrechnen kann, was mir aber große schwierigkeiten bereitet. bin um jede hilfe dankbar! Gefragt 21 Mär 2018 von 2 Antworten 1. Lagrange funktion aufstellen in florence. K: 11-λ*L^3 = 0 war falsch! 2. λ: -KL^3+620 = 0 ==> K = 620/L^3 in 2. einsetzen gibt 1 11-λ*L^3 = 0 und 2a) 24 - λ*1860 / L = 0 11-λ*L^3 = 0 und 24 = λ*1860 / L 11-λ*L^3 = 0 und 24 / 1860 * L = λ 11-λ*L^3 = 0 und 2 / 155 * L = λ einsetzen: 11- 2 / 155 * L *L^3 = 0 11- 2 / 155 *L^4 = 0 11 = 2 / 155 *L^4 852, 5 = L^4 5, 40 = L und mit 2 / 155 * L = λ also λ = 0, 0697 und also mit K = 620/L^3 dann K = 3, 93 Beantwortet mathef 251 k 🚀 Du bräuchtest es gar nicht mit Lagrange machen, zumindest nicht wenn nicht eventuell nach dem Lagrange-Faktor gefragt wird.
Wozu das ganze? Optimieren unter Nebenbedingungen hat große Relevanz für schier unendlich viele wissenschaftliche Gebiete. Gut erklären lässt es sich im Wirtschaftsbereich, weil es dort sehr anschaulich ist: Wir haben eine Funktion, die von einigen Variablen abhängt, beispielsweise vom Geld und von der Arbeitszeit. Diese Funktion spuckt uns dann zum Beispiel in Abhängigkeit von diesen beiden Variablen unseren Gewinn aus. Lagrange funktion aufstellen und. Wir wollen nun unseren maximalen Gewinn ausrechnen, haben aber feste Bedingungen an unsere Variablen: Wir haben schlicht und ergreifend nur eine begrenzte Menge an Geld, und auch unendlich viel arbeiten können wir nicht. Erklärung an einem Beispiel Wie können wir nun eine Funktion optimieren während wir Nebenbedingungen beachten? Schauen wir uns das ganze an einem Beispiel an: $$ \begin{align*} \mbox{maximiere} ~ f(x, y) = -2x^2 +12x -y^2 +8y -4 \\ \mbox{unter der Nebenbedingung} ~ x+y=2 \end{align*} $$ Wir schauen uns die Funktion mal in einer Visualisierung zusammen mit der Nebenbedingung an.
Index \( n \): nummeriert die Teilchen. Kraft \( F_n \): wirkt auf das Teilchen \( n \) und ist bekannt. Lagrange-Multiplikator \( \lambda_n \): für den Ansatz der Zwangskraft. Masse \( m_n \): vom \(n\)-ten Teilchen. Beschleunigung \( \ddot{x}_n \): vom \(n\)-ten Teilchen. Sie ist die zweite, zeitliche Ableitung des Ortes des Teilchens \( x_n \). Art Die Gleichungen 2. Art ist die Euler-Lagrange-Gleichung bezogen auf die Zeit und generalisierte Koordinaten: Gleichung 2. Art: Euler-Lagrange-Gleichung zur Elimination der Zwangskräfte und Bestimmung der Bewegungsgleichungen \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}~-~ \frac{\text{d}}{\text{d} t}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} ~=~ 0 \] Mehr zur Formel... Lagrange-Funktion \( \mathcal{L} \): ist die Differenz zwischen der kinetischen und potentiellen Energie in generalisierten Koordinaten \( \mathcal{L} ~=~ T ~-~ U \). Generalisierte Koordinaten \( q_i \): beschreiben das betrachtete Problem vollständig. Lagrange Ansatz erklärt – Studybees. Zeit \( t \) Generalisierte Geschwindigkeiten \( \dot{q}_i \): sind die ersten zeitlichen Ableitungen der \( q_i \).
Beispiel für Impulserhaltung Gegeben ist die Lagrangefunktion für ein freies Teilchen in der Ebene, in kartesischen Koordinaten: \[ \mathcal{L} ~=~ \frac{1}{2} \, m (\dot{x_1}^2 ~+~ \dot{x_2}^2) \] und in Polarkoordinaten: \[ \mathcal{L} ~=~ \frac{1}{2} \, m (\dot{r}_{\perp}^2 ~+~ \dot{\varphi}^2 \, r_{\perp}^2) \] Koordinaten \( x_1 \) und \( x_2 \) kommen in der kartesischen Lagrangefunktion beide nicht vor, weshalb \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} ~=~ 0 ~\text{und}~ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} ~=~ 0 \] wegfallen. Der Impuls ist somit in beide Richtungen \(x_1\) und \(x_2\) erhalten! Lagrange-Formalismus: so killst Du Zwangskräfte. Bei der Lagrangefunktion in Polarkoordinaten dagegen, kommt nur \(\varphi\) explizit nicht vor. Die radiale Komponente \( r_{\perp} \) jedoch schon, weshalb der generalisierte Impuls nur in \(\varphi\)-Richtung erhalten ist; jedoch nicht in \( r_{\perp} \)-Richtung! Kartesische Koordinaten sind also für dieses Problem (freies Teilchen in der Ebene) die besseren Koordinaten, weil sie mehr Erhaltungsgrößen liefern.