Jede komplexe Zahl entspricht einem Punkt ( a, b) in der komplexen Ebene. Die reale Achse ist die Linie in der komplexen Ebene, die aus den Zahlen besteht, deren Imaginärteil Null ist: a + 0 i. Jede reelle Zahl wird zu einem eindeutigen Punkt auf der reellen Achse grafisch dargestellt. Die imaginäre Achse ist die Linie in der komplexen Ebene, die aus den Zahlen mit dem Realteil Null besteht: 0 + bi. Die Abbildung zeigt einige Beispiele für Punkte auf der komplexen Ebene. Komplexe Zahlen – Polarkoordinaten | SpringerLink. Grafische Darstellung komplexer Zahlen. Das Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen ist nur ein weiteres Beispiel für das Sammeln ähnlicher Begriffe: Sie können nur reelle Zahlen addieren oder subtrahieren und Sie können nur imaginäre Zahlen addieren oder subtrahieren. Wenn Sie komplexe Zahlen multiplizieren, FALSCHEN Sie die beiden Binome. Sie müssen sich nur daran erinnern, dass die imaginäre Einheit so definiert ist, dass i 2 = –1. Wenn Sie also i 2 in einem Ausdruck sehen, ersetzen Sie sie durch –1. Beachten Sie beim Umgang mit anderen Kräften von i das folgende Muster: Dies geht auf diese Weise für immer weiter und wiederholt in einem Zyklus jede vierte Potenz.
Um eine größere Potenz von i zu finden, anstatt für immer zu zählen, muss man erkennen, dass sich das Muster wiederholt. Um zum Beispiel i 243 zu finden, teilen Sie 4 in 243 und Sie erhalten 60 mit einem Rest von 3. Das Muster wird 60 Mal wiederholt und Sie haben dann 3 übrig, also i 243 = i 240 × i 3 = 1 × i 3, das ist - ich. Das Konjugat einer komplexen Zahl a + bi ist a - bi und umgekehrt. Komplexe zahlen polarkoordinaten rechner. Wenn Sie zwei komplexe Zahlen, die Konjugate voneinander sind, multiplizieren, erhalten Sie eine reine reelle Zahl: ( a + bi) ( a - bi) = a 2 - abi + abi - b 2 i 2 Gleiche Terme kombinieren und i 2 durch –1 ersetzen: = a 2 - b 2 (–1) = a 2 + b 2 Denken Sie daran, dass absolute Balken, die eine reelle Zahl einschließen, die Entfernung darstellen. Bei einer komplexen Zahl | a + bi | repräsentiert den Abstand vom Punkt zum Ursprung. Dieser Abstand entspricht immer der Länge der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, die beim Verbinden des Punkts mit den x- und y- Achsen gezeichnet wird. Wenn Sie komplexe Zahlen teilen, multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem Konjugat.
Zusammenfassung Die komplexen Zahlen sind die Punkte des \(\mathbb {R}^2\). Jede komplexe Zahl \(z = a + \mathrm{i}b\) mit \(a, \, b \in \mathbb {R}\) ist eindeutig durch die kartesischen Koordinaten \((a, b) \in \mathbb {R}^2\) gegeben. Die Ebene \(\mathbb {R}^2\) kann man sich auch als Vereinigung von Kreisen um den Nullpunkt vorstellen. So lässt sich jeder Punkt \(z \not = 0\) eindeutig beschreiben durch den Radius r des Kreises, auf dem er liegt, und dem Winkel \(\varphi \in (-\pi, \pi]\), der von der positiven x -Achse und z eingeschlossen wird. Man nennt das Paar \((r, \varphi)\) die Polarkoordinaten von z. Mithilfe dieser Polarkoordinaten können wir die Multiplikation komplexer Zahlen sehr einfach darstellen, außerdem wird das Potenzieren von komplexen Zahlen und das Ziehen von Wurzeln aus komplexen Zahlen anschaulich und einfach. Author information Affiliations Zentrum Mathematik, Technische Universität München, München, Deutschland Christian Karpfinger Corresponding author Correspondence to Christian Karpfinger.
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