Integration durch Substitution Definition Die Integration durch Substitution dient dazu, einen Term, der zu integrieren ist, zu vereinfachen. Die Vorgehensweise soll an einem einfachen Beispiel gezeigt werden (das allerdings auch anders – ohne Integration durch Substitution – gelöst werden könnte). Beispiel Das Integral $\int_0^1 (2x + 1)^2 dx$ soll in den Integralgrenzen 0 und 1 berechnet werden. Nun kann man (2x + 1) durch u ersetzen ( Substitution). Da (2x + 1) ein linearer Term ist (grafisch eine Gerade), sagt man auch lineare Substitution. u ist also (2x + 1) und die 1. Ableitung u' ist 2. Die erste Ableitung u' kann man auch als du/dx schreiben, somit ist du/dx = 2 bzw. dx = 1/2 du. Integration durch Substitution – Wikipedia. Zum einen wird jetzt das Integral neu geschrieben: $$\int (2x + 1)^2 dx = \frac{1}{2} \cdot \int u^2 du $$ Zum anderen müssen die Integralgrenzen neu berechnet werden, indem die Funktionswerte für u für die alten Integralgrenzen 0 und 1 berechnet werden: u (0) = 2 × 0 + 1 = 1. u (1) = 2 × 1 + 1 = 3. Das zu berechnende Integral ist somit: $$\int_0^1 (2x + 1)^2 dx = \frac{1}{2} \cdot \int_1^3 u^2 du$$ Die Stammfunktion (die Funktion, die abgeleitet u 2 ergibt) dazu ist 1/3 u 3 + C (dabei ist C die Konstante, die beim Ableiten wegfällt).
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2 Theorie Übungen Inhalt: Integration durch Substitution Lernziele: Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen: Wie die Formel für die Integration durch Substitution hergeleitet wird. Wie man Integrale mit Integration durch Substitution löst. Wie man die Integrationsgrenzen bei der Substitution richtig ändert. Wann Integration durch Substitution möglich ist. Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge). A - Integration durch Substitution Wenn man eine Funktion nicht direkt integrieren kann, kann man die Funktion manchmal durch eine Substitution integrieren. 2.2 Integration durch Substitution - Online Mathematik Brückenkurs 2. Die Formel für die Integration durch Substitution ist einfach die Kettenregel für Ableitungen rückwärts. Die Kettenregel \displaystyle \ \frac{d}{dx}f(u(x)) = f^{\, \prime} (u(x)) \, u'(x)\ kann in Integralform geschrieben werden: \displaystyle \int f^{\, \prime}(u(x)) \, u'(x) \, dx = f(u(x)) + C oder \displaystyle \int f(u(x)) \, u'(x) \, dx = F (u(x)) + C\, \mbox{, } wobei F eine Stammfunktion von f ist, d. h. es gilt \displaystyle F^{\, \prime} =f.
Wir zeigen eine eigenenständige Herleitung dieser Integrationsformel: Wir beginnen mit der normalen Intagrationsformel. Der Integrand \displaystyle f hat die Stammfunktion \displaystyle F und \displaystyle u ist die Integrationsvariable \displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C\, \mbox{. } Wir ersetzen jetzt die Integrationsvariable \displaystyle u durch die Funktion \displaystyle u(x). Aufgaben integration durch substitution examples. Dadurch verändert sich \displaystyle f(u) zu \displaystyle f(u(x)) und \displaystyle du zu \displaystyle d u(x). Wir wissen aber eigentlich nicht, was \displaystyle du(x) ist. In der nächsten Zeile tun wir so, als wäre \displaystyle \frac{dx}{dx} =1 wie bei "normalen" Brüchen. \displaystyle du(x) = \frac{dx}{dx} d u(x) = \frac{1}{dx} d u(x) d x = \frac{d}{dx} u(x) \, dx = u^{\, \prime} (x) \, dx Also ist das unbekannte \displaystyle du(x) dasselbe wie das bekannte \displaystyle u^{\, \prime}(x)\, dx: Beim Integrieren mit der Integrationsvariable \displaystyle x wird der Integrand mit \displaystyle u^{\, \prime}(x) multipliziert.
In diesem Abschnitt findet ihr die Lösungen der Übungen, Aufgaben, Übungsaufgaben bzw. alte Klausuraufgaben zur Integration durch Substitution. Rechnet diese Aufgaben zunächst selbst durch und schaut danach in unsere Lösungen zur Kontrolle. Integration durch Substitution: Aufgaben Lösung Aufgabe 1: Integriere durch Substitution Links: Zur Mathematik-Übersicht Über den Autor Dennis Rudolph hat Mechatronik mit Schwerpunkt Automatisierungstechnik studiert. Neben seiner Arbeit als Ingenieur baute er und weitere Lernportale auf. Integration durch Substitution, Integral einer verschachtelten Funktion | Mathe-Seite.de. Er ist zudem mit Lernkanälen auf Youtube vertreten und an der Börse aktiv. Mehr über Dennis Rudolph lesen. Hat dir dieser Artikel geholfen? Deine Meinung ist uns wichtig. Falls Dir dieser Artikel geholfen oder gefallen hat, Du einen Fehler gefunden hast oder ganz anderer Meinung bist, bitte teil es uns mit! Danke dir!
200–201 Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Einfache Erklärung/Beispiele für die Substitutionsregel Landesbildungsserver BW: Verfahren der linearen Substitution mit ausführlichem Beispiel und Übungen/Lösungen Video: Substitutionsregel. Jörn Loviscach 2011, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi: 10. 5446/9911. Video: Integration durch Substitution, Fingerübung. Jörn Loviscach 2013, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi: 10. 5446/10142. Video: drei Wege für Integration durch Substitution. 5446/10144. Aufgaben integration durch substitution rules. Video: Partielle Integration, Substitutionsregel, Integration durch Partialbruchzerlegung. Jörn Loviscach 2012, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi: 10. 5446/9987. Video: Beispiele partielle Integration, Substitutionsregel, Integration durch Partialbruchzerlegung. 5446/9988.
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