e-Funktion Bei der e-Funktion ( e x) handelt es sich um eine Exponentialfunktion, welche im Gegensatz zur Potenzfunktion die Variable im Exponenten hat. Besonders an der e-Funktion ist, dass ihre Ableitung wieder die e-Funktion ist. Nullstellen e-Funktion – Lernzettel. Ihr Graph heißt Exponentialkurve und sieht folgendermaßen aus: es existiert kein Schnittpunkt mit der x-Achse – keine Nullstelle e ist die Eulersche Zahl, ist irrational und beträgt circa 2, 718 Lösung der e-Funktion Wiederholung zum Logarithmus b x = a x = log b ( a) Der natürliche Logarithmus e x = z x = l n ( z) ln-Funktion Die Lösung des natürlichen Logarithmus lässt sich auch als Funktion darstellen, f ( x) = l n ( x). da e x niemals 0 oder negativ sein kann (zumindest bei reellen Zahlen), ist der natürliche Logarithmus hier nicht definiert Trigonometrische Funktionen Sinus Der Graph kann verändert werden: f ( x) = a ⋅ sin ( b ⋅ ( x − c)) + d a = A m p l i t u d e b = W i n k e l g e s c h w i n d i g k e i t (wobei die ursprüngliche Periodenlänge von 2π durch die neue Periodenlänge geteilt wird) c = V e r s c h i e b u n g a u f d e r x − A c h s e d = V e r s c h i e b u n g a u f d e r y − A c h s e Insgesamt erinnert dies an die Scheitelpunktform einer Funktion.
Nullstellen Größte Funktionswerte Kleinste Funktionswerte x = k ⋅ π x = 1 2 π + k ⋅ 2 π x = 3 2 π + k ⋅ 2 π Cosinus Der Cosinus (im Bild blau) ist eine um 1/2𝛑 nach links verschobene Sinuskurve. x = 1 2 π + k ⋅ π x = k ⋅ 2 π x = π + k ⋅ 2 π
Bevor du die Funktionsuntersuchung abarbeitest ist es sinnvoll, sich die Funktion anzusehen und zu überlegen welche Besonderheiten diese hat und wie die Funktion aussieht. Mache auch eine Skizze von der Funktion. Ohne Taschenrechner und schriftliche Rechnungen lässt sich folgendes über die Funktion f(x)=$2\cdot e^{-3x+1}-0, 5$ sagen: Die Funktion ist eine fallende e-Funktion. (Begründung: negatives Vorzeichen vorm x) Die Funktion ist nicht symmetrisch. E funktionen lernzettel video. (Begründung: keine achsensymmetrische Funktion im Exponent. ) Die Funktion hat bei 2$\cdot e -0, 5$ ihren Schnittpunkt mit der y-Achse. (Begründung: Wenn x=0 ist, dann ist y=2$\cdot e^{1}-0, 5$. ) y=-0, 5 ist die Asymptote. (Begründung: Wenn x gegen +unendlich läuft, dann läuft die Funktion gegen -0, 5, da $e^{-\infty}$=0. ) Damit lässt sich eine erste Skizze anfertigen: Skizze Funktionsuntersuchung einfache e-Funktion Wenn du einen Taschenrechner mit Graphikmenü besitzt, solltest du dir die Funktion am Anfang auch schon ansehen. Definitionsbereich Da alle x-Werte in die Funktion eingesetzt werden können, gehören alle reelen Zahlen zum Definitionsbereich.
Ergebniss: D=IR Symmetrie rechnerischer Nachweis: Achsensymmetrie: f(-x)=f(x) f(-x)=$2\cdot e^{-3(-x)+1}-0, 5$=$2\cdot e^{3x+1}-0, 5$ f(x)=$2\cdot e^{-3x+1}-0, 5$ $2\cdot e^{3x+1}-0, 5 \neq 2\cdot e^{-3x+1}-0, 5$ -> nicht achsensymmetrisch Punktsymmetrie: f(-x)=-f(x) f(-x)=$2\cdot e^{-3(-x)+1}-0, 5$=$2\cdot e^{3x+1}-0, 5$ -f(x)=-$2\cdot e^{-3x+1}-0, 5$=$-2\cdot e^{-3x+1}-0, 5$ $2\cdot e^{3x+1}-0, 5 \neq -2\cdot e^{-3x+1}-0, 5$ -> nicht punktsymmetrisch Ergebniss: Die Funktion ist nicht symmetrisch. y-Achsenabschnitt Rechnerische Bestimmung durch Berechnung von f(0), d. h. x wird in der Funktionsgleichung Null gesetzt. f(0)=$2\cdot e^{-3\cdot 0+1}-0, 5$=2$\cdot e^{1}-0, 5$=4, 94 Ergebniss: y 0 =4, 94 Nullstellen Bedingung: f(x)=0 $0=2\cdot e^{-3x+1}-0, 5$ |+0, 5 $0, 5=2\cdot e^{-3x+1}$ |:2 $0, 25=e^{-3x+1}$ | die ganze Gleichung logaritmieren z. E funktionen lernzettel te. B. mit ln $\ln (0, 25)=\ln (e^{-3x+1})$ $\ln (0, 25)=-3x+1$ |-1 $\ln (0, 25) -1 = -3x$ |:(-3) $x=\frac{\ln (0, 25)-1}{-3}=0, 80$ Ergebnis: X 0 =0, 80 Extrempunkte a) x-Werte berechnen Bedingung: f´(x)=0 f´(x)=$2\cdot-3\cdot e^{-3x+1}=-6\cdot e^{-3x+1}$ 0=$-6\cdot e^{-3x+1}$ $e^{-3x+1}$ kann niemals 0 werden, daher kann auch die gesamte Gleichung nicht 0 werden, so dass es keinen Extrempunkt gibt.
b) y-Wert berechnen und c) Überprüfung auf Hoch und Tiefpunkt mit der 2. Ableitung entfällt. Ergebnis: Es gibt keine Extrempunkte. Wendepunkte Bedingung: f``(x)=0 f``(x)=$-18\cdot e^{-3x+1}$ $\neq$ 0 -> es gibt keine Wendepunkte Auch hier kann $e^{-3x+1}$ nicht 0 werden. Ergebnis: Es gibt keine Wendepunkte. Globalverhalten Da die Funktion fallend ist gilt: wenn x-> $\infty$, dann f(x) -> -0, 5, y=-0, 5 ist die Asymptote. E funktionen lernzettel 1. wenn x-> $-\infty$, dann f(x) -> $\infty$ Wertebereich Durch die Asymptote wird der Wertebereich nach unten berschränkt. W = {x ∈ IR | x > -0, 5} D. alle reellen Zahlen größer als -0, 5 sind im Wertebereich enthalten. Monotonie Die Monotonie wechselt immer an den Extrempunkten. Da hier keine Extrempunkte vorhanden sind, gibt es auch kein Wechsel im Monotonieverhalten. Da der Exponent negativ ist, ist es eine immer fallende Funktion. Die Monotonie kann dann folgendermaßen angegeben werden. smf auf Intervall]-$\infty$, $+\infty$[ Graph Um den Graph zu erstellen ist es wichtig, zuerst alle berechneten Punkte und die Asymptote einzutragen.
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