Home Mitglieder Wer braucht noch Hilfe? Jetzt teilen Andere Portale Community Q&A Feedback & Support Abstand eines Punktes von einer Ebene Aufrufe: 127 Aktiv: 08. 09. 2021 um 21:45 0 Hallo, Den Punkt den ich mir aufgestellt habe, lautet P(2+r| 3+r| -5+r). In den Lösungen steht für die dritte Koordinate jedoch nur -5. Warum ist das so? Danke im Voraus! Quelle: Lambacher Schweizer Kursstufe Vektoren Diese Frage melden gefragt 08. 2021 um 21:42 math1234 Schüler, Punkte: 116 Kommentar schreiben 1 Antwort Im Richtungsvektor hast du eine 0 an der Stelle stehen, das ergibt dann $-5+0r=-5$. ;) Diese Antwort melden Link geantwortet 08. 2021 um 21:44 cauchy Selbstständig, Punkte: 22. 07K Kommentar schreiben
Als Abstand eines Punktes zu einer Geraden bezeichnet man die Länge der kürzesten Verbindung zwischen dem Punkt und der Geraden. Diese kürzeste Verbindung findet man, indem man ein Lot von dem Punkt auf die Gerade fällt. Um den Abstand eines externen Punktes P von einer Geraden zu bestimmen, sucht man den Lotfußpunkt F. Der Verbindungsvektor von P zu F steht orthogonal zu dem Richtungsvektor \color{green} \bf{ \overrightarrow {v}}. Rechenbeispiel Schritt für Schritt erklärt Gegeben sei der Punkt P(10|5|7) und die Gerade g: \overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}-2\\1\\7\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\1\\-3\end{pmatrix}. Gesucht ist der Abstand von P zu g. Schritt 1: Der Ortsvektor zum Fußpunkt F liegt auf der Gerade g: \overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}-2+4r\\1+r\\7-3r\end{pmatrix} Es ist hilfreich, die gesamte Geradengleichung mit Stützvektor und Richtungsvektor in eine gemeinsame Klammer zu schreiben. Schritt 2: Differenzvektor zwischen P und F. \overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}-2+4r\\1+r\\7-3r\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}10\\5\\7\end{pmatrix}\\[5pt] \overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}-12+4r\\-4+r\\-3r\end{pmatrix} Schritt 3: Orthogonalitätsbedingung: \overrightarrow{PF}*\vec v =0\\[5pt] \begin{pmatrix}-12+4r\\-4+r\\-3r\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 4\\1\\-3\end{pmatrix}=0\\[5pt] -48+16r-4+r+9r=0\\ -52+26r=0\\ r=2.
Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie Abbildung 1. Darstellung der Potenz des Punktes P im Kreis um den Punkt O zentriert. Der Abstand s ist orange, der Radius r blau und das Tangentensegment PT rot dargestellt. In der elementaren ebenen Geometrie ist die Potenz eines Punktes eine reelle Zahl h, die den relativen Abstand eines gegebenen Punktes von einem gegebenen Kreis widerspiegelt. Insbesondere wird die Stärke eines Punktes P bezüglich eines Kreises O mit Radius r definiert durch (Fig. 1). ha 2 = so 2 − r 2 {\displaystyle h^{2}=s^{2}-r^{2}} wobei s der Abstand zwischen Pund dem Mittelpunkt O des Kreises ist. Nach dieser Definition haben Punkte innerhalb des Kreises negative Potenz, Punkte außerhalb haben positive Potenz und Punkte auf dem Kreis haben null Potenz. Bei externen Punkten entspricht die Leistung dem Quadrat der Länge einer Tangente vom Punkt zum Kreis. Die Stärke eines Punktes wird auch als Kreisstärke des Punktes oder die Stärke eines Kreises in Bezug auf den Punkt bezeichnet.
Darboux-Produkt Die Potenz eines Punktes ist ein Spezialfall des Darboux-Produkts zwischen zwei Kreisen, das gegeben ist durch | EIN 1 EIN 2 | 2 − r 1 2 − r 2 2 {\displaystyle \left|A_{1}A_{2}\right|^{2}-r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\, } wobei A 1 und A 2 die Mittelpunkte der beiden Kreise sind und r 1 und r 2 ihre Radien sind. Die Stärke eines Punktes entsteht im Sonderfall, dass einer der Radien Null ist. Wenn die beiden Kreise orthogonal sind, verschwindet das Darboux-Produkt. Wenn sich die beiden Kreise schneiden, ist ihr Darboux-Produkt 2 r 1 r 2 cos φ {\displaystyle 2r_{1}r_{2}\cos\varphi\, } wobei φ der Schnittwinkel ist. Satz von Laguerre Laguerre definierte die Potenz eines Punktes P bezüglich einer algebraischen Kurve vom Grad n als das Produkt der Abstände vom Punkt zu den Schnittpunkten eines Kreises durch den Punkt mit der Kurve geteilt durch die n- te Potenz des Durchmessers d. Laguerre zeigte, dass diese Zahl unabhängig vom Durchmesser ist ( Laguerre 1905). Für den Fall, dass die algebraische Kurve ein Kreis ist, ist dies nicht ganz dasselbe wie die Brechkraft eines Punktes in Bezug auf einen im Rest dieses Artikels definierten Kreis, unterscheidet sich jedoch um den Faktor d 2 davon.
Im Grenzfall, wenn die Leitung tangential zu dem Kreis, P = Q, und das Ergebnis ist sofort aus dem Satz von Pythagoras. In den anderen beiden Fällen, wenn A innerhalb des Kreises oder A außerhalb des Kreises liegt, hat die Potenz eines Punktsatzes zwei Folgerungen. Der Akkord Theorem, Theorem von ihnen schneidenden Akkorden oder Akkord Akkord Leistungssatz besagt, dass wenn A ist ein Punkt innerhalb eines Kreises und PQ und RS sind Sehnen des Kreises an Schnitt A, dann EIN P ⋅ EIN Q = EIN R ⋅ EIN S {\displaystyle AP\cdot AQ=AR\cdot AS\, } Der gemeinsame Wert dieser Produkte ist das Negative der Potenz des Punktes A bezüglich des Kreises. Der Sekantenschnittsatz (oder Sekanten-Sekanten-Potenzsatz) besagt, dass, wenn PQ und RS Sehnen eines Kreises sind, die sich in einem Punkt A außerhalb des Kreises schneiden, dann EIN P ⋅ EIN Q = EIN R ⋅ EIN S {\displaystyle AP\cdot AQ=AR\cdot AS\, } In diesem Fall ist der gemeinsame Wert gleich der Potenz von A in Bezug auf den Kreis.
Philipp Raab vom SV Wört hat den 32. Spieltag der Kreisliga A2 getippt. – Foto: FuPa Obwohl die SG Schrezheim vom Relgeationsplatz in der Kreisliga A2 bestimmt noch Abstand nehmen möchte, sagt Philipp Raab: Es gibt keinen Dreier in Wört! Der Kapitän und Innenverteidiger hat aber auch eine klare Meinung zu den restlichen Spielen des 32. Spieltags. Der SV Wört agierte in dieser Saison zu häufig unglücklich. Das Schlusslicht der A2 wird nach diesem Sommer wieder den Gang in die B-Klasse antreten müssen, nachdem die Mannschaft vor allem offensiv oft keine Mittel fand. Nur 37 Tore stehen für das Team von Dietmar Hahn zu Buche, 16 davon in der bisherigen Rückrunde. Das hindert seinen Kapitän Philipp Raab aber nicht daran, einen Blick auf die kommenden Begegnungen der Liga zu werfen. Der Innenverteidiger hat alle Spiele von Ellwangen bis Dorfmerkingen für uns getippt. Wört 15:00 Schrezheim Mein Tipp: Unentschieden Die SG Schrezheim möchte vom Relegationsplatz Abstand nehmen und einen Dreier einfahren.
Die Potenz des Punktes P (siehe Abbildung 1) kann äquivalent als das Produkt der Entfernungen vom Punkt P zu den beiden Schnittpunkten einer beliebigen Geraden durch P definiert werden. In Fig. 1 schneidet beispielsweise ein von P ausgehender Strahl den Kreis in zwei Punkten M und N, während ein Tangentenstrahl den Kreis in einem Punkt T schneidet; der horizontale Strahl von P schneidet den Kreis bei A und B, den Endpunkten des Durchmessers. Ihre jeweiligen Entfernungsprodukte sind untereinander und mit der Potenz des Punktes P in diesem Kreis gleich P T ¯ 2 = P M ¯ × P Nein ¯ = P EIN ¯ × P B ¯ = ( so − r) × ( so + r) = so 2 − r 2 = ha 2. {\displaystyle \mathbf {\overline {PT}} ^{2}=\mathbf {\overline {PM}} \times \mathbf {\overline {PN}} =\mathbf {\overline {PA}} \times \ mathbf {\overline {PB}} =(sr)\times (s+r)=s^{2}-r^{2}=h^{2}. } Diese Gleichheit wird manchmal als "Sekanten-Tangens-Theorem", "Intersecting Chords Theorem" oder "Power-of-a-Point-Theorem" bezeichnet. Falls P innerhalb des Kreises liegt, liegen die beiden Schnittpunkte auf verschiedenen Seiten der Geraden durch P; man kann davon ausgehen, dass die Gerade eine Richtung hat, so dass einer der Abstände negativ ist und somit auch das Produkt der beiden.
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