In diesem Fall sind Zeilenvertauschungen erforderlich, welche auf eine modifizierte Zerlegung mit einer Permutationsmatrix führen. Die entsprechende Modifikation des Verfahrens ist, welche wieder auf eine zu ähnliche Matrix führt. Allerdings ist dann die Konvergenz nicht mehr gesichert, es gibt Beispiele, wo die modifizierte Iteration zur Ausgangsmatrix zurückkehrt. Daher bevorzugt man den QR-Algorithmus, der dieses Problem nicht hat. Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Heinz Rutishauser (1958): Solution of eigenvalue problems with the LR transformation. Nat. Bur. Stand. App. Math. Ser. 49, 47–81. J. G. Francis (1961): The QR Transformation: A Unitary Analogue to the LR Transformation—Part 1. The Computer Journal Vol. 4(3), S. 265–271. doi: 10. 1093/comjnl/4. 3. Matrizenrechner. 265 Josef Stoer, Roland Bulirsch: Numerische Mathematik 2. 5. Auflage, Springer-Verlag Berlin 2005, ISBN 978-3-540-23777-8.
Dazu führt man einen Hilfsvektor c ( j) = Rx ( j) ein und löst zunächst Lc ( j) = b ( j) durch Vorwärtseinsetzen. LR-Zerlegung - Lexikon der Mathematik. Dann bestimmt man den Lösungsvektor x ( j) aus Rx ( j) = c ( j) durch Rückwärtseinsetzen. Die LR-Zerlegung muß also nur einmal berechnet werden, das nachfolgende Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen benötigt im Vergleich zur Berechnung der LR-Zerlegung nur sehr wenige arithmetische Operationen. Copyright Springer Verlag GmbH Deutschland 2017
Schritt 2. 1: Im nächsten Schritt nehmen wir diese Matrix und streichen ihre erste Zeile und Spalte, sodass wir eine kleinere Teilmatrix erhalten. Schritt 2. 2: Wir gehen nun mit genauso vor, wie mit in Schritt 1. Explizit bedeutet das, wir spiegeln ihre erste Spalte auf ein Vielfaches des ersten Einheitsvektors. Dafür berechnen wir, um damit die -Matrix zu berechnen. Im Anschluss definieren wir dann unsere – Householder-Matrix durch. Nun multiplizieren wir von links an die zuvor berechnete Matrix. Die daraus resultierende Matrix hat nun in den ersten beiden Spalten unterhalb dem Eintrag nur Nullen. Schritt 3. 1: Um das selbe auch für die restlichen Spalten zu erreichen, streichen wir im nächsten Schritt sowohl die erste und zweite Zeile, als auch Spalte von und führen Schritt 3. 2 analog zu Schritt 2. 2 für die Teilmatrix durch und erweitern dann die -Matrix zu. Mathematik - LR-Zerlegung berechnen und Gleichungssystem lösen - YouTube. Nun berechnen wir. Diese Schritte führen wir solange fort, bis wir eine obere Dreiecksmatrix erhalten, was spätestens nach Schritt der Fall ist.
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Der LR-Algorithmus, auch Treppeniteration, LR-Verfahren oder LR-Iteration, ist ein Verfahren zur Berechnung aller Eigenwerte und eventuell auch Eigenvektoren einer quadratischen Matrix und wurde 1958 vorgestellt von Heinz Rutishauser. Er ist der Vorläufer des gängigeren QR-Algorithmus von John G. F. Francis und Wera Nikolajewna Kublanowskaja. Beide basieren auf dem gleichen Prinzip der Unterraumiteration, verwenden im Detail aber unterschiedliche Matrix-Faktorisierungen, die namensgebende LR-Zerlegung bzw. Lr zerlegung pivotisierung rechner. QR-Zerlegung. Obwohl der LR-Algorithmus sogar einen geringeren Aufwand als der QR-Algorithmus aufweist, verwendet man heutzutage für das vollständige Eigenwertproblem eher den letzteren, da der LR-Algorithmus weniger zuverlässig ist. Ablauf des LR-Algorithmus [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Der LR-Algorithmus formt die gegebene quadratische Matrix in jedem Schritt um, indem zuerst ihre LR-Zerlegung berechnet wird, sofern diese existiert, und dann deren beide Faktoren in umgekehrter Reihenfolge wieder multipliziert werden, d. h. for do (LR-Zerlegung) end for Da ähnlich ist zu bleiben alle Eigenwerte erhalten.
Die Determinante einer quadratischen Matrix A = ( a i j) der Dimension n ist eine reelle Zahl, die linear von jedem Spaltenvektor der Matrix abhängt. Wir bemerken det A) ou | die Determinante der quadratischen Matrix A. m 1; n … i; ⋮ ⋱ n; 1 n) Die einfachste Formel zur Berechnung der Determinante ist die Leibeiniz-Formel: d e t ∑ σ ∈ S ε σ) ∏ i) Eigenschaften von Determinanten Die Determinante ist gleich 0, wenn, Zwei Zeilen in der Matrix sind gleich. La matrice a au moins une ligne ou colonne égale à zéro. Die Matrix ist einzigartig. Das Subtrahieren der Zeile i von der Zeile j n ändert den Wert der Determinante nicht. Wenn zwei Zeilen oder Spalten vertauscht werden, ändert sich das Vorzeichen der Determinante von positiv nach negativ oder von negativ nach positiv. Die Determinante der Identitätsmatrix ist gleich 1, I Die Determinanten von A und seiner Transponierung sind gleich, T) - 1) [ A)] Wenn A und B Matrizen derselben Dimension haben, B) × c x 22 i, wenn die Matrix A dreieckig ist j 0 et ≠ ist die Determinante gleich dem Produkt der Diagonale der Matrix.
Die Ergebnisse findet man unten. Die Householder Transformation ist eine Spiegelung, so dass gewünschte Stellen zu Null werden. Die Givens Rotation ist als Drehung ein Spezialfall der Householder Transformation. Das Ergebnis zeigt Q*A = R. R ist eine rechte obere Dreiecksmatrix, Q ist eine orthogonale Matrix. Dies kann umgestellt werden zu A = Q(transponiert)*R. Das Verfahren ist sehr stabil.
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