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Potenz vor. Normalform In der Normalform ist der Koeffizient von $x^2$ gleich $1$: Zur Erinnerung: Wenn der Koeffizient gleich $1$ ist, schreiben wir ihn nicht extra auf, denn $1 \cdot x^2 = x^2$. Dabei ist $\boldsymbol{x^2}$ das quadratische Glied, $\boldsymbol{px}$ das lineare Glied und $\boldsymbol{q}$ das absolute Glied. Beispiel 10 $x^2 - 4x + 3 = 0$ ist eine quadratische Gleichung in Normalform. Quadratische Gleichungen | Mathebibel. Um eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form in die Normalform umzuwandeln, müssen wir lediglich durch den Koeffizienten von $x^2$ (also $a$) dividieren. Beispiel 11 Berechne die Normalform der quadratischen Gleichung $2x^2 + 4x + 1 = 0$. $$ \begin{align*} {\color{red}2}x^2 + 4x + 1 &= 0 &&{\color{red}|\, :2} \\[5px] \frac{{\color{red}2}x^2 + 4x + 1}{\color{red}2} &= \frac{0}{\color{red}2} \\[5px] \frac{{\color{red}2}x^2}{\color{red}2} + \frac{4x}{\color{red}2} + \frac{1}{\color{red}2} &= \frac{0}{\color{red}2} \\[5px] x^2 + 2x + 0{, }5 &= 0 \end{align*} $$ Arten Es gibt vier verschiedene Arten von quadratischen Gleichungen.
Diese Technik ist sehr wesentlich auch für schwierigere Gleichungen, mit denen Sie im Verlauf der Oberstufe konfrontiert werden. Beispiel 5: $\;x^2-5x=0$ Da jeder Summand die Variable enthält, können wir $x$ ausklammern: $x\cdot (x-5)=0$ Nun steht dort ein Produkt, dessen Ergebnis Null ergeben soll. Das geht aber nur, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Dies wird oft Satz vom Nullprodukt genannt. Da wir alle Lösungen der Gleichung suchen, setzen wir nacheinander jeden Faktor Null. Textaufgaben Trigonometrie ⇒ Aufgabe und Lösungsweg. Beim ersten Faktor müssen wir nichts tun und bekommen sofort die Lösung: $\begin{align*}x&=0&& \text{ oder} & x-5&=0&&|+5\\ x_1&=0&&&x_2&=5\end{align*}$ Beispiel 6: $\;-2x^2-8x=0$ In diesem Fall kann man zwar auch $-2x$ ausklammern, aber wir bleiben der Einfachheit halber bei $x$: $\begin{align*}-2x^2-8x&=0\\ x(-2x-8)&=0\\x_1&=0 &&\text{ oder}& -2x-8&=0&&|+8\\ &&&&-2x&=8&&|:(-2)\\ &&&&x_2&=-4\end{align*}$ Reinquadratische Gleichungen Bei reinquadratischen Gleichungen fehlt das Linearglied, was in der Normalform gleichbedeutend mit $p=0$ ist.
10. Entlang einer Mauer soll ein rechteckiges Feld der Fläche A = 800 m 2 mit einem insgesamt 100 m langen Zaun eingezäunt werden. Wie sind die Seitenlängen zu wählen? Welche maximale Fläche könnte mit 100 m Zaun begrenzt werden? Hier finden Sie die Lösungen. Und hier die dazugehörige Theorie hier: Quadratische Gleichungen und p-q-Formel und Zusammenfassung Quadratische Funktionen. Hier eine Übersicht über weitere Beiträge zu quadratische Funktionen, darin auch Links zur Theorie und zu weiteren Aufgaben.
Aus diesem Grund gibt es keine (reellen) Lösungen! Lösungsmenge aufschreiben $$ \mathbb{L} = \{\, \} $$ Anmerkung Wenn wir die Definitionsmenge der quadratischen Gleichung auf die Menge der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erweitern, hat diese Gleichung zwei komplexe Lösungen. $ax^2 + bx = 0$ Gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied lösen wir folgendermaßen: zu 2) Ausklammern zu 3) Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Beispiel 20 $$ x^2 + 9x = 0 $$ Quadratische Gleichung in Normalform bringen Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt! $\boldsymbol{x}$ ausklammern $$ x \cdot (x + 9) = 0 $$ Faktoren gleich Null setzen $$ \underbrace{x\vphantom{()}}_{=\, 0} \cdot \underbrace{(x+9)}_{=\, 0} = 0 $$ Gleichungen nach $\boldsymbol{x}$ auflösen 1. Faktor $$ x = 0 $$ 2.