Quelle: ZPG IMP Primzahlen sind bereits seit der Antike bekannt. Schon die "alten Griechen", z. B. Euklid und Eratosthenes, widmeten sich den Primzahlen und entdeckten zahlreiche spannende mathematische Eigenschaften rund um Primzahlen. Aber auch in neueren Jahren beschäftigten sich viele Mathematiker mit Primzahlen, darunter so berühmte Namen wie Euler, Fermat, Goldbach oder auch Gauss. Im Feld der Kryptologie, also der Wissenschaft vom Ver- und Entschlüsseln von Botschaften durch (mathematische) Regeln, bekamen Primzahlen im Verlauf der letzten knapp 100 Jahre eine immer wichtigere Bedeutung. Es begann eine regelrechte Jagd nach großen Primzahlen. Doch beginnen wir von Anfang an. Zunächst wiederholen wir nochmals, was eine Primzahl überhaupt ist: Deine Aufträge: Begründe, dass die Zahl 1 keine Primzahl ist. Um Primzahlen zu finden, kann man das folgende Verfahren durchführen, das sogenannte Sieb des Eratosthenes. Zuerst wird die Zahl 1 gestrichen. Sieb des Eratosthenes - Erklärung, Beispiele, Übungen und Lösungen. Die Zahl 2 wird umkreist und dann alle Vielfachen von ihr gestrichen.
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Alle Vielfachen von 3 sind durch 3 teilbar, sind also keine Primzahlen. Deshalb können wir diese Zahlen durchstreichen (6, 9, 12,... ) Schritt 4: Die Zahl 4 ist bereits gestrichen, kann also übersprungen werden. Die Zahl 5 wird angemalt, da es sich bei ihr um eine Primzahl handelt. Alle Vielfachen von 5 sind durch 5 teilbar, sind also keine Primzahlen. Sieb des eratosthenes arbeitsblatt de. Deshalb können wir diese Zahlen durchstreichen (10, 15, 20,... ) Schritt 5: Die Zahl 6 ist bereits gestrichen, kann also übersprungen werden. Die Zahl 7 wird angemalt, da es sich bei ihr um eine Primzahl handelt. Alle Vielfachen von 7 sind durch 7 teilbar, sind also keine Primzahlen. Deshalb können wir diese Zahlen durchstreichen (14, 21, 28,... ) Schritt 6: Die restlichen verbleibenden Zahlen können angemalt werden, es handelt sich dabei um die Primzahlen.
Ebenso wie die acht, die zehn, die zwölf. 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98 und die 100. Die drei ist eine Primzahl und darf bleiben. Alle Vielfachen von 3, die jetzt hier noch zu sehen sind, sind keine Primzahlen, wie zum Beispiel die neun, die neun ist ja drei mal drei, deshalb ist die neun durch drei teilbar, also schon mal keine Primzahl. Die 15 ist fünf mal drei, deshalb keine Primzahl und muss auch raus. Ebenso wie die 21, die 27, die 33, 39 und die 45, die 51, die 57, 63, 69, 75, 81, 87, die 93 und die 99. Dann haben wir hier jetzt die fünf. Fünf ist eine Primzahl, alle Vielfachen von fünf sind keine Primzahlen. Sieb des eratosthenes arbeitsblatt des. Da haben wir die 25, die muss raus, die 35, die 65, die 55 und noch die 85 und die 95. Die sieben ist eine Primzahl, alle Vielfachen von sieben sind keine Primzahlen, da haben wir noch die 49 und die 77. So, und Du siehst, es sind nur noch gelbe Bälle da, das sind also die Primzahlen von eins bis 100 und damit hat das Sieb funktioniert.
Ein Gegenbeispiel genügt schon, um die Aussage eines Satzes zu falsifizieren. a. ) Berechne für k = 1 bis 5 fünf verschiedenen Zahlen auf die folgende Art: Multipliziere die ersten k Primzahlen miteinander und addiere 1. Beispiel: Für k = 2 ist dies 2 * 3 + 1 = 7. 2 + 1= 3 2 · 3 + 1 = 7 2 · 3 · 5 + 1 = 31 2 · 3 · 5 · 7 + 1 = 211 2 · 3 · 5 · 7 · 11 + 1 = 2311 b. ) Betrachte die Ergebnisse aus a. ). Was fällt dir an der Einerstelle auf? Prüfe an ein paar Beispielen, ob deine Idee auch für k > 5 gilt. Versuche die Beobachtung zu erklären. Primzahlen sieb des eratosthenes arbeitsblatt. Ab k = 3 enden diese Zahlen stets auf die Ziffer 1, da dann der erste Summand als Teiler die 2 und die 5 enthält. Somit endet er auf die Ziffer 0. Die Endziffer 1 ergibt sich aus der 1 als zweitem Summanden. Nachdem nicht jede Primzahl auf 1 endet, ist jetzt spätestens klar, dass man mit dieser Methode nicht alle Primzahlen erzeugen kann. c. )* Teile die fünf Zahlen aus a. ) nacheinander durch jede einzelne Primzahl, die zu ihrer Berechnung verwendet wurde.
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