Autor Nachricht Luna_anastasia Anmeldungsdatum: 23. 02. 2010 Beiträge: 3 Luna_anastasia Verfasst am: 23. Feb 2010 12:39 Titel: Umstellen des Zerfallsgesetzes Hallo, wer kann mir Schritt für Schritt erklären, wie ich das Zerfallsgesetz auf die einzelnen Komponenten umstelle? Ich habe damit große Schwierigkeiten Danke für Eure hilfe Liebe Grüße Sonja EDIT schnudl: Formel nach Latex portiert. TomS Moderator Anmeldungsdatum: 20. 03. 2009 Beiträge: 15095 TomS Verfasst am: 23. Feb 2010 14:57 Titel: Meinst du mit "auf Komponenten umstellen" vielleicht "nach Variablen auflösen"? _________________ Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. Luna_anastasia Verfasst am: 23. Umstellen des Zerfallsgesetzes. Feb 2010 15:10 Titel: Hallo, danke schon mal für deine Mühe, mir geht es darum, dass ich folgendes errechnen kann No, t, sowie T1/2, mir fällt es schwer die Formel umzustellen. Kannst du mir das Schritt für Schritt erklären, was ich zu tun habe.
Das Zerfallsgesetz als Diagramm Das Zerfallsgesetz gibt an, wie eine bestimmte Anzahl von Atomkernen eines radioaktiven Nuklids in Abhängigkeit von der Zeit zerfällt. Die Anzahl der zerfallenen Atomkerne ist abhängig von der Anzahl der ursprünglich vorhandenen Atomkerne des betreffenden Nuklids, von der Halbwertszeit des Nuklids, von der vergangenen Zeit. Anschaulich lässt sich der Zerfall von Atomkernen in Abhängigkeit von der Zeit in einer Zerfallskurve verdeutlichen (Bild 1). Es ergibt sich ein nicht linearer Zusammenhang. Ist eine Halbwertszeit vergangen, so ist noch die Hälfte der ursprünglich vorhandenen Atomkerne des Nuklids vorhanden. Zerfallsgesetz nach t umgestellt synonym. Die andere Hälfte ist zerfallen. Nach zwei Halbwertszeiten sind noch ein Viertel, nach drei Halbwertszeiten noch ein Achtel der ursprünglich vorhandenen Atomkerne vorhanden. Das Zerfallsgesetz als Gleichung Der im Diagramm (Bild 1) dargestellte Zusammenhang lässt sich auch in Form einer Gleichung erfassen. Für den Zerfall von Atomkernen gilt das folgende Zerfallsgesetz: N = N o ⋅ ( 1 2) t T 1 / 2 N Anzahl der noch nicht zerfallenen Atomkerne N o Anzahl der zum Zeitpunkt t = 0 vorhandenen nicht zerfallenen Atomkerne t Zeit T 1/2 Halbwertszeit Das Zerfallsgesetz - ein statistisches Gesetz Das Zerfallsgesetz ist im Unterschied zu vielen anderen Gesetzen der Physik ein statistisches Gesetz, man spricht auch von einem stochastischen Gesetz.
Es gilt also: Wir dividieren durch und erhalten Damit gilt bzw. für den Kehrwert Für die e-Funktion gilt (s. o. ): Kehrt man das Vorzeichen im Exponenten um, so erhält man den Kehrwert: Logarithmieren ergibt Damit gilt für die Zerfallskonstante und für die Halbwertszeit So lassen sich also Zerfallskonstante und Halbwertszeit in Abhängigkeit voneinander ausdrücken. Allgemein gilt für eine beliebige Zeit t das Zerfallsgesetz. Setzen wir die hergeleiteten Zusammenhänge ein, so ergibt sich für die Zerfallskonstante und für die Zeit t Je nach Aufgabenstellung lassen sich so,,, oder berechnen: Beispielaufgaben zum Zerfallsgesetz Aufgabe 1 Bei einem radioaktiven Präparat sind ursprünglich 2, 88 · 10 20 Atomkerne vorhanden. Zerfallsgesetz nach t umgestellt es. Die Zerfallskonstante beträgt λ = 0, 1 min -1. a) Wie groß ist die Anzahl der noch nicht zerfallenden Atomkerne nach einer Stunde? gegeben: Es gilt: Das Produkt aus Zerfallskonstante und Zeit im Exponenten ergibt Eingesetzt in das Zerfallsgesetz erhält man Antwort: Nach einer Stunde sind noch 7, 139 · 10 17 Atomkerne vorhanden.
Sie schwankt bei den verschiedenen Nukliden zwischen einigen Mikrosekunden und einigen Milliarden Jahren. Trägt man die Anzahl der noch nicht zerfallenden Kerne N in Abhängigkeit von der Zeit t auf, so ergibt sich folgender Verlauf: Die Halbwertszeit lässt sich aus dem Diagramm einfach ermitteln: Man schaut, nach welcher Zeit die Anzahl der ursprünglich vorhandenen Kerne N 0 auf die Hälfte abgenommen hat. Nach zwei Halbwertszeiten ist die Anzahl auf 1/4 des Anfangswertes gesunken usw. Mathematische Beschreibung des radioaktiven Zerfalls Je mehr Kerne vorhanden sind, desto mehr Zerfälle pro Zeit finden statt. Je mehr Zerfälle pro Zeit stattfinden, umso größer ist die zeitliche Änderung der Zahl der Ausgangskerne. Die Anzahl der pro Zeiteinheit zerfallenden Kerne, also die Änderungsrate der Anzahl N bzw. ist proportional zur Anzahl der noch nicht zerfallenden Kerne. Zerfallsgesetz nach t umgestellt live. Da die Anzahl der Kerne mit der Zeit abnimmt, ist die Änderungsrate negativ: Damit gilt: bzw. Diese Konstante ist eine für jedes Isotop charakteristische Konstante und heißt Zerfallskonstante.
Die Zerfallskonstante ist nur von dem Nuklid abhängig, aus dem ein radioaktives Präparat besteht: Präparate des gleichen Nuklids haben alle die gleiche Zerfallskonstante, Präparate aus verschiedenen Nukliden haben in der Regel verschiedene Zerfallskonstanten. Joachim Herz Stiftung Abb. 1 Exponentielles Abfallen der Anzahl \(N\) der noch nicht zerfallenen Atomkerne in einem radioaktiven Präparat in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) Zusammen mit der Anfangsbedingung \(N(0)=N_0\) stellt Gleichung \((1)\) eine Lineare Differentialgleichung 1. Formel umstellen, Zerfall berechnen | Mathelounge. Ordnung für den Bestand \(N\) dar. Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet\[N(t) = {N_0} \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}} \quad(2)\]Diese Gleichung \((2)\) bezeichnet man üblicherweise als das Gesetz des radioaktiven Zerfalls oder kurz Zerfallsgesetz. Der Bestand \(N\) der noch nicht zerfallenen Atomkerne in einem radioaktiven Präparat sinkt also ausgehend von einem Anfangswert \(N_0\) exponentiell mit der Zeit \(t\) ab. Die Aktivität \(A\) eines radioaktiven Präparates ist das Maß für die Anzahl der momentan in dem Präparat stattfindenden radioaktiven Zerfälle.
Element Halbwertszeit Zerfallskonstante λ (1/s) Uran-238 4, 5 ∙ 10 9 a 5, 0 ∙ 10 -18 Plutonium-239 2, 4 ∙ 10 4 a 9, 2 ∙ 10 -13 Kohlenstoff-14 5730 a 3, 9 ∙ 10 -12 Radium-226 1602 a 1, 35 ∙ 10 -11 Polonium-210 138 d 5798 ∙ 10 -8 Thorium-216 26 ms 26. 660 Woher weiß man, wie alt Mumien sind? Zerfallsgesetz und Halbwertszeit. Und woher wusste man, wann der Ötzi gestorben ist? Natürlich dank der Mathematik (und Physik). Im Körper ist nämlich eine bestimmte Menge an radioaktivem Kohlenstoff, auch C-14 genannt, welches nach dem Tod exponentiell abnimmt.
Aufgabe Zerfallsgesetz - Formelumstellung Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe a) Das Kobaltisotop Co-60 ist ein \(\beta^-\)-Strahler mit der Halbwertszeit \(5{, }3\, \rm{a}\). Ein radioaktives Präparat enthält heute \(1{, }6 \cdot 10^{16}\) Atome dieses Isotops Co-60. Berechne die Anzahl der Co-60 - Atome in dem Präparat in \(20\) Jahren. b) Für die Untersuchung der Schilddrüse nimmt ein Patient radioaktive Jodisotope I-131 ein. I-131 ist ein \(\beta^-\)-Strahler mit einer Halbwertszeit von \(8{, }0\, \rm{d}\). \(14\) Tage nach der Einnahme der Jodisotope misst man noch eine Aktivität von \(4{, }2\, \rm{MBq}\). Berechne die Aktivität bei der Einnahme der Jodisotope. c) Des Radonisotop Ra-222 ist ein \(\alpha\)-Strahler. \(10\) Tage nach dem Beginn der Untersuchung eines Ra-222 - Präparates ist die Aktivität auf \(16\%\) der Anfangsaktivität gesunken. Berechne die Halbwertszeit von Ra-222. d) Das Kohlenstoffisotop C-14 ist ein \(\beta^-\)-Strahler mit einer Halbwertszeit von \(5{, }7\cdot 10^3\, \rm{a}\).
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