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Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe Tags: minimaler Abstand, Vektorrechnung, windschiefe Geraden vanylicious 11:54 Uhr, 13. 03. 2011 Hallo zusammen, bräuchte vielleicht eure Hilfe. Aufgabe lautet: Ermitteln Sie den minimalen Abstand, den die Flugzeuge F 1 und F 2 in den ersten 15 Minuten nach Start des Flugzeugs F 1 voneinander haben. Flugzeuge bewegen sich entlang dieser beiden Geraden: F 1: g: x → = ( - 3 - 11 0) + t ( 2, 2 4 0, 6), 0 ≤ t ≤ 15 F 2: h: x → = ( 0 15 4) + s ( 4 - 3 0) t + s = Minuten, die nach dem Start von F 1 vergangen sind Wäre lieb, wenn mir jemand einen Tipp geben würde. Minimale oder maximale Entfernung zweier Funktionsgraphen. Liebe Grüße Matheboss 12:05 Uhr, 13. 2011 Bau Dir eine Hilfsebene, in der g liegt und die parallel zu h ist (also den Richtungsvektor von h hat). Forme sie in die Koordinatenform (Normalenform) um. Da h jetzt ja Parallel zur Hilfsebene ist, hat jeder Punkt von h den gleichen Abstand zur Hlfsebene, also auch der Aufpunkt von h. Hessenormalform und damit Abstand berechnen. 12:07 Uhr, 13. 2011 Ja das verstehe ich sehr gut.
Ergebnisse Für $u=2{, }5$ ist die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ am kleinsten, und es gilt: $\overline{PQ}_{\text{min}}=d(2{, }5)=4{, }5 \text{ LE}$ (Längeneinheiten). In der Aufgabenstellung war in diesem Fall nicht nach den Koordinaten von $P$ und $Q$ gefragt. Da dies manchmal Teil der Aufgabe ist, werden sie hier zusätzlich berechnet: $y_P = f(2{, }5) = 6{, }125 \Rightarrow P(2{, }5|6{, }125)$; $y_Q = g(2{, }5) = 1{, }625 \Rightarrow Q(2{, }5|1{, }625)$ Beispiel 2: Schnittpunkte und Randextrema Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit den Gleichungen $f(x)=0{, }5x^2-4x+10$ und $g(x)=-1{, }5x^2+6x+2$. Die Gerade $x=u$ ($0{, }5\leq u\leq 5$) schneidet den Graphen von $f$ im Punkt $P$ und den Graphen von $g$ im Punkt $Q$. Berechnen Sie die Koordinaten von $P$ und $Q$ so, dass die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ maximal ist. Bestimmen Sie auch die maximale Streckenlänge. Die Graphen schneiden sich in den Punkten $S_1(1|6{, }5)$ und $S_2(4|2)$. Windschiefe Geraden - minimaler Abstand. Auch hier gilt wieder, dass die Schnittpunkte üblicherweise in einer vorangehenden Teilaufgabe ermittelt werden sollen.
Guten Tag, ich hab diese Aufgabe bekommen und komme da nicht weiter. Bezogen auf ein geeignetes Koordinatensystem mit der Einheit 1 𝑘𝑚 befindet sich ein erstes Flugzeug zu Beobachtungsbeginn im Koordinatenursprung und bewegt sich geradlinig mit einer Geschwindigkeit von 300 𝑘𝑚 ℎ in Richtung des Vektors ( 1 2 1). Ein zweites Flugzeug befindet sich zu Beobachtungsbeginn im Punkt (20|34, 2|15, 3) und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 400 𝑘𝑚 ℎ in Richtung des Vektors ( −2 2 3). Berechnen Sie, in welchen Punkten sich ihre Flugbahnen am nächsten kommen und berechnen Sie den Abstand der beiden Punkte. Ich hab den Abstand, wo sie sich am nächsten kommen (0, 0911km), aber wie berechne ich dann den Abstand der Punkte, wenn sie sich am nächsten gekommen sind? Bedanke mich für jede Hilfe! Flugzeug Abstand berechnen? (Schule, Mathematik, Vektoren). Topnutzer im Thema Mathematik 0, 0911 km ist der minimale Abstand der Flugbahnen, das ist korrekt. Jedoch werden die entsprechenden Bahnpunkte nicht gleichzeitig von den Flugzeugen erreicht, sondern zu unterschiedlichen Zeiten.
Die Formel für den Abstand windschiefer Geraden liefert nur die minimale Entfernung, gibt aber keine Auskunft darüber, in welchen Punkten der Geraden der Abstand angenommen wird. Die Fußpunkte erhält man mit einem Lotfußpunktverfahren. Auf dieser Seite arbeiten wir mit der Methode der "laufenden Punkte" (allgemeine Punkte der Geraden), die ohne vorherige Berechnung eines Normalenvektors auskommt. Das Verfahren mit einer Hilfsebene finden Sie hier. Vorgehensweise: Abstand windschiefer Geraden mit laufenden Punkten Gegeben seien zwei windschiefe Geraden $g\colon \vec x=\vec p+r\, \vec u$ und $h\colon \vec x=\vec q+s\, \vec v$. Die Punkte $F_g$ und $F_h$ seien die Fußpunkte des gemeinsamen Lotes. Die hellgrauen Hilfsebenen sollen nur das räumliche Vorstellungsvermögen unterstützen und haben für die Rechnung keine Bedeutung. Die Verbindungslinie $\overrightarrow{F_gF_h}$ muss auf beiden Geraden und somit auf beiden Richtungsvektoren senkrecht stehen. Wir müssen daher fordern, dass die jeweiligen Skalarprodukte Null ergeben.
Gesucht ist der minimale Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden. $$ g: \vec{x} = \vec{a} + t \vec{v} \;\;\; P = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} Der Abstand eines beliebigen Punktes $\vec{x}$ zum Punkt P bestimmt sich nach: d = |\vec{x} - \vec{p}| Wenn $\vec{x}$ ein Punkt der Geraden ist, gilt: d = \left| \vec{a} + t \vec{v} - \vec{p} \right| Der Abstand ist nur von der Variablen t abhängig. Somit ist der Abstand eine Funktion von t und man kann mit Hilfe der Differentialrechnung den kürzesten Abstand bestimmen: $ d_{min}'(t) = 0 $ und $ d_{min}''(t) \neq 0 $ Beachten Sie, dass dies das einzige Verfahren ist, bei dem Sie den Lotpunkt L nicht bestimmen müssen. Beispiel g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 13 \\ 12 \\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} P(2|3|4) \begin{array}{rcl} d &=& - \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix} 11 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix} \sqrt{ (11+3t)^2 +(9 + 0t)^2 +(3 - t)^2} \sqrt{(121 + 66t + 9t^2) + (81) + (9 - 6t + t^2)}\\ &=& \sqrt{211 + 60t + 10t^2} \end{array} Um nicht die Wurzelfunktion abzuleiten, untersuchen wir das Quadrat des Abstandes.
mY+ 11. 2012, 15:33 Zitat: Original von Fokus dein frage hat gelautet:"... kann ich davon ausgehen, dass mein ergebnis richtig ist? " meine antwort darauf: "eher das gegenteil" daraus sollte man schon den sehr einfachen schluß ziehen können: NEIN, das ergebnis d = 2. 096 ist FALSCH (dein handy ist schlauer) 11. 2012, 16:33 @riwe: Ich weiß dass du das ironisch meinst, aber ich möchte, dass mein Ergebnis exakt ist, sonst gibt es Punktabzüge ^^ Ich schreib einfach mal meine Rechnung in Kurzform auf: Schritt 1 - Fußpunktvektor bilden: Schritt 2 - Gleichungen aufstellen und Gleichungssystem lösen: Es gilt: Diese beiden ausgerechnet ergeben: I II Umformen von I nach r und einsetzen in II liefert s = 13/14 und r = 86/49. Einsetzen von r und s in \vec{d} liefert: Schritt 3 - Länge des Vektors ausrechnen = 2, 069 Sind die Schritt so alle korrekt, also kann ich das immer so machen? Anzeige 11. 2012, 16:43 bis II ist alles korrekt ich erhalte allerdings damit (wobei ich eventuell r und s vertauscht habe) edit: wenn´s exakt sein soll, würde ich hinmalen 12.
Das ist ja die normale Abstandsberechnung. Ist es auch gleichzeitig der minimale Abstand? Vielen Dank =) 12:10 Uhr, 13. 2011 Der Abstand ist das Lot, also die kürzeste Verbindung, also der "minimalste" Abstand. Ich habe auf die Zeit nicht geachtet, ich habe nur die Geraden gesehen. Ich schaue sie mir jetzt nochmal genauer an. 12:21 Uhr, 13. 2011 Okay, danke;-) Aber bei den Zeiten muss ich auch nichts beachten oder? LG 12:26 Uhr, 13. 2011 Hier ist nicht der kürzeste Abstand zwischen 2 windschiefen Geraden nicht umbedingt der minimalste Abstand der Flugzeuge, da diese ja nicht umbedingt zur gleichen Zeit diese Punkte erreichen. 12:43 Uhr, 13. 2011 Okay ja das hab ich mir schon gedacht. Aber wie mache ich das jetzt? maxsymca 13:08 Uhr, 13. 2011 Im Prinzip berechnest Du den Abstand f ( t) von zwei Punkten auf den Geraden. Bildest die Ableitung und suchst das Minimum.... Ist das der Originaltext? So bleiben einige Fragen.... Wo ist der Zeitpunkt Null? Annahme: der jeweilige Ortsvektor also A: g ( 0) und B: h ( 0)?