Die Funktion f f muss also die Gestalt f ( t) = { 0 : 0 < t ≤ 1 2 1 : 1 2 < t ≤ 1 f(t) = \begin{cases} 0 & \colon0 < t \leq \dfrac12\\ 1 & \colon\dfrac12 < t \leq 1 \end{cases} haben, was einen Widerspruch zu der Annahme f f sei stetig darstellt. Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben. Archimedes Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden. Dreiecksungleichung: Umkehrung, Beweis, Beispiel · [mit Video]. Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld • Dοrfplatz 25 • 17237 Blankеnsее • Tel. : 01734332309 (Vodafone/D2) • Email: cο@maτhepedιa. dе
Ein Vektorraum V V über den reellen Zahlen R \dom R (oder den komplexen Zahlen C \C) heißt ein normierter Vektorraum oder kürzer normierter Raum, wenn es eine Abbildung ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣: V → R ||\cdot||:V\rightarrow \dom R gibt, welche die folgenden Eigenschaften besitzt: ∣ ∣ a ∣ ∣ > 0 ||a||>0 für alle a ≠ 0 a\neq 0 ∣ ∣ λ a ∣ ∣ = ∣ λ ∣ ∣ ∣ a ∣ ∣ ||\lambda a||=|\lambda| \, ||a|| für alle λ ∈ R \lambda\in\dom R und a ∈ V a\in V (Homogenität) ∣ ∣ a + b ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ a ∣ ∣ + ∣ ∣ b ∣ ∣ ||a+b||\leq ||a||+||b|| für alle a, b ∈ V a, b\in V Diese Abbildung wird Norm genannt. Man benutzt die Doppelstriche ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ||\cdot|| um die Norm vom Absolutbetrag der reellen Zahlen zu unterscheiden. Eigenschaft iii. ist die allseits bekannte Dreiecksungleichung in vektorieller Form. Dreiecksungleichung. Satz 5310D (Eigenschaften normierter Vektorräume) Sei V V ein normierter Vektorraum mit der Norm ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ||\cdot|| und a ∈ V a\in V. Dann gilt: ∣ ∣ 0 ∣ ∣ = 0 ||0||=0 ∣ ∣ − a ∣ ∣ = ∣ ∣ a ∣ ∣ ||\uminus a||=||a|| Zusammen mit der obigen Definition bedeutet (i): ∣ ∣ x ∣ ∣ = 0: ⇔ x = 0 ||x||=0:\Leftrightarrow x=0.
Beweis Nach der Tschebyscheff Summen-Ungleichung ist. Für gehen die Riemannschen Approximationssummen in die gewünschten Integrale über. Anderson-Ungleichung [ Bearbeiten] Sind nichtnegative konvexe Funktionen mit, so gilt. Es sei die Menge der nichtnegativen konvexen Funktionen mit. Jede Funktion wächst monoton, denn gäbe es, so dass ist, so würde der Punkt überhalb der Sekante liegen. ist abgeschlossen bezüglich der Multiplikation, das heißt aus folgt. Da und beide monoton wachsen, ist, woraus folgt. Für mit ist dann, nachdem und konvex sind. Und das ist. Definiert man, dann gilt die Implikation. Für alle gilt die Ungleichung. Die Flächen und sind gleich. Es gibt einen Wert, so dass für alle ist und für alle ist. Also ist Nachdem monoton wächst, ist. Daher ist. Wie geht Dreiecksungleichung? (Mathe, Mathematik). Für gilt dann. Abschätzung zu log(1+x), cos(x), sin(x) [ Bearbeiten] ist [Mit der Stirling-Formel verwandte Formel] [ Bearbeiten] Da der natürliche Logarithmus streng monoton wächst ist. Summiert man nach von bis, so ist. Dabei ist.
Werden diese nun parallel zu sich selbst in die Punkte $A$, $B$, und $C$ verschoben, so sieht man deutlich, dass diese die Vektoren zwischen den Punkten darstellen. Es kann als nächstes die Länge der Vektoren bestimmt werden und dadurch die Dreiecksungleichung gezeigt werden: $|\vec{BA}| + |\vec{AC}| \ge |\vec{BC}|$ $|\vec{BA}| = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$ $|\vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$ $|\vec{BC}| = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{29}$ $\sqrt{37} + \sqrt{10} \ge \sqrt{29}$ Die Ungleichung ist erfüllt. Die zwei Dreiecksseiten sind länger als die direkte Verbindung.
Beginnend mit einem Dreieck, du baust ein gleichschenkligen Dreiecks auf die seite gehen und ein Segment gleich lang an der Seite. Da der Winkel ist größer als der Winkel, für die entsprechenden gegenüberliegenden Seiten gilt die gleiche Ungleichung: also. Aber seit, wir haben das, das ist die gesuchte Ungleichung. Dieser Beweis erscheint in Elemente Euklids, Buch 1, Proposition 20. [4] 1752 ist der euklidische Satz Gegenstand einer Dissertation von Tommaso Maria Gabrini, was die These bestätigt. [5] Im Fall eines rechtwinkligen Dreiecks besagt die Ungleichung, dass die Summe der beiden Schenkel größer als die Hypotenuse ist, während die Differenz kleiner ist. Verallgemeinerung auf ein beliebiges Polygon Dreiecksungleichung kann erweitert werden durch mathematische Induktion, zu einem Polygon mit beliebig vielen Seiten. In diesem Fall heißt es, dass die Länge einer Seite kleiner ist als die Summe aller anderen. Beziehung zum kürzesten Weg zwischen zwei Punkten Approximation einer Kurve durch gestrichelte Linien Mit der Dreiecksungleichung kann man beweisen, dass der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten durch das sie verbindende gerade Segment realisiert wird.
Dies gilt auch für komplexwertige Funktionen. Dann existiert nämlich eine komplexe Zahl so, dass und. Da reell ist, muss gleich Null sein. Außerdem gilt, Dreiecksungleichung für Vektoren Für Vektoren gilt:. Die Gültigkeit dieser Beziehung sieht man durch Quadrieren, unter Anwendung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung:. Auch hier folgt wie im reellen Fall sowie Dreiecksungleichung für sphärische Dreiecke Zwei sphärische Dreiecke In sphärischen Dreiecken gilt die Dreiecksungleichung im Allgemeinen nicht. Sie gilt jedoch, wenn man sich auf eulersche Dreiecke beschränkt, also solche, in denen jede Seite kürzer als ein halber Großkreis ist. In nebenstehender Abbildung gilt zwar jedoch ist. Dreiecksungleichung für normierte Räume In einem normierten Raum wird die Dreiecksungleichung in der Form als eine der Eigenschaften gefordert, die die Norm für alle erfüllen muss. Insbesondere folgt auch hier für alle. Im Spezialfall der L p -Räume wird die Dreiecksungleichung Minkowski-Ungleichung genannt und mittels der Hölderschen Ungleichung bewiesen.
Streicht man identische Terme und setzt so bleibt zu zeigen. Mit erhält man bzw. was wegen und der Monotonie der (reellen) Wurzelfunktion immer erfüllt ist. Analog wie im reellen Fall folgt aus dieser Ungleichung auch Dreiecksungleichung von Betragsfunktionen für Körper [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Zusammen mit anderen Forderungen wird eine Betragsfunktion für einen Körper auch durch die etabliert. Sie hat zu gelten für alle Sind alle Forderungen (s. Artikel Betragsfunktion) erfüllt, dann ist eine Betragsfunktion für den Körper Ist für alle ganzen, dann nennt man den Betrag nichtarchimedisch, andernfalls archimedisch. Bei nichtarchimedischen Beträgen gilt die verschärfte Dreiecksungleichung Sie macht den Betrag zu einem ultrametrischen. Umgekehrt ist jeder ultrametrische Betrag nichtarchimedisch. Dreiecksungleichung für Summen und Integrale [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Mehrmalige Anwendung der Dreiecksungleichung bzw. vollständige Induktion ergibt für reelle oder komplexe Zahlen.
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