Das Integral ist ein wichtiges Konzept in der Mathematik. Es ist neben der Differenzierung eines von zwei Hauptoperationen in der Infinitesimalrechung. Integral- und Differenzialrechnung sind inverse Operationen. Das heißt, integriert man eine Funktion f und differenziert sie, erhält man wieder die Ausgangsfunktion f. Mathe Aufgaben Analysis Integralrechnung Unbestimmtes Integral - Mathods. Üblicherweise werden integrierte Funktionen mit Großbuchstaben geschrieben ( F). Integrale unterscheidet man in bestimmte Integrale und unbestimmte Integrale. Ein bestimmtes integral ist definiert als die Fläche, die von dem Graphen der Funktion f auf dem Intervall [ a, b] eingeschlossen wird, wobei die vertikalen Linien x = a und x = b als Begrenzung dienen. Die Fläche oberhalb der x -Achse besitzt ein positives Vorzeichen, während die Fläche unterhalb der x -Achse von der Gesamtfläche subtrahiert wird. Integration kann aber auch definiert werden als die inverse Operation zur Differenzialrechnung. In diesem Fall wäre das Integral die Stammfunktion einer Funktion f und damit ein unbestimmtes Integral.
\(f(x) = 3x^{3} + 7x^{2} - 5x + 4\) 2. \(f(x) = \dfrac{5}{x} - \dfrac{1}{x^{2}}\) 3. \(f(x) = \dfrac{3x + 2}{3x^{2} + 4x}\) 4. \(f(x) = \dfrac{2}{3}e^{2x + 5}\) 5. \(f(x) = \sin{\left( \dfrac{3}{2}x - 2 \right)}\) 1. Beispielaufgabe \[f(x) = 3x^{3} + 7x^{2} - 5x + 4\] Die Menge der Stammfunktionen der ganzrationalen Funktion \(f\) wird gebildet, indem auf jeden Summanden das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C\) angewendet wird. Die Faktoren vor den Potenzen bleiben als solche erhalten. Die Integrationskonstanten werden in Summe zu einer Integrationskonstante \(C\) zusammengefasst. \[f(x) = 3x^{3} + 7x^{2} - 5x + 4 = 3x^{3} + 7x^{2} - 5x^{1} + 4x^{0}\] \[\begin{align*} F(x) &= 3 \cdot \frac{x^{3 + 1}}{3 + 1} + 7 \cdot \frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} - 5 \cdot \frac{x^{1 + 1}}{1 + 1} + 4 \cdot \frac{x^{0 + 1}}{0 + 1} + C \\[0. Unbestimmtes integral aufgaben 2. 8em] &= \frac{3}{4}x^{4} + \frac{7}{3}x^{3} - \frac{5}{2}x^{2} + 4x + C \end{align*}\] 2. Beispielaufgabe \[f(x) = \dfrac{5}{x} - \dfrac{1}{x^{2}}\] Auf den Term \(\dfrac{5}{x}\) kann das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int \frac{1}{x}\, dx = \ln{\vert x \vert} + C\) angewendet werden, wobei der Faktor 5 als solcher erhalten bleibt.
Die Stammfunktion ist nicht auf einem Intervall definiert. Die Prinzipien der Integrationsrechnung wurden unabhängig voneinander von Sir Isaac Newton und Gottfried Leibniz im späten 17. Jahrhundert formuliert und waren ursprünglich definiert als eine unendliche Summe aus Rechtecken unendlich kleiner Breite. Eine genauere mathematische Definition des Integralbegriffs wurde im 19. Jahrhundert von Bernhard Riemann gemacht. Vor allem in der differenziellen Geometrie spielen Integrale eine zentrale Rolle. Die ersten Verallgemeinerungen des Integralbegriffs wurden von der Physik vorangetrieben, in der Integration eine wichtige Rolle vieler physikalischer Gesetze spielt, vor allem in der Elektrodynamik. Geschichtliche Entwicklung der Integralrechnung Die erste dokumentierte mathematische Methode zur Berechnung von Flächen, also der Integration, war die Exhaustionsmethode, entwickelt vom griechischen Astronom Eudoxus von Knidos (ca. 370 v. Chr. ). Unbestimmtes integral aufgaben 7. Der antike griechische Philosoph Antiphon war davon überzeugt, dass man den Kreis Quartieren könne, da sich jedes beliebige andere Polygon in ein Quadrat umwandeln lässt.
Dokument mit 21 Aufgaben Aufgabe A1 (7 Teilaufgaben) Lösung A1 Bilde eine Stammfunktion mit Hilfe der geeigneten Integrationsregel.
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