Das funktioniert folgendermaßen. Komplexe Zahlen Division im Video zur Stelle im Video springen (03:21) Wir bleiben bei unseren komplexen Zahlen Komplexe Zahlen dividieren Möchtest du die komplexe Zahl durch die komplexe Zahl dividieren, dann rechnest du. Was hat es mit diesem Strich über auf sich? Das ist die zu komplexe konjugierte Zahl. Schauen wir uns das genauer an und nehmen dafür die komplexe Zahl her. Wenn du jetzt das Vorzeichen des Imaginärteils Im(z) umkehrst, erhältst du die zu komplex konjugierte Zahl. Mehr zu komplex konjugiert findest du in unserem Beitrag hier. Die komplexen Zahlen für das Beispiel lauten wieder Schritt 1: Im ersten Schritt berechnen wir. Das heißt, wir kehren das Vorzeichen von um. Dadurch erhalten wir. Schritt 2: Jetzt berechnen wir das Produkt. Schritt 3: Nun berechnen wir das Produkt. Schritt 4: Wir haben alle Zutaten zusammen und müssen diese nur noch in die Formel einfügen. Merke: Dieser Prozess den Zähler und Nenner mit zu multiplizieren, heißt komplex konjugiert erweitern.
Rechenoperationen mit komplexen Zahlen In Teilbereichen der Physik und der Technik, etwa bei der Rechnung mit Wechsel- oder Drehströmen in der Elektrotechnik, bedient man sich der Rechenoperationen mit komplexen Zahlen. Das ist zunächst verwunderlich, da es in der klassischen Physik eigentlich nur reelle aber keine imaginären Größen gibt. Das Resultat jeder Rechenoperation mit komplexen Zahlen ist wieder eine komplexe Zahl, doch deren Real- und deren Imaginärteil sind jeweils reelle Größen, die eine physikalische Bedeutung haben können. Ein Beispiel aus der Elektrotechnik: Multipliziert man etwa eine zeitabhängige Stromstärke I mit einer phasenverschobenen Spannung U so erhält man die (komplexe) Scheinleistung S. Der Realteil von S ist die Wirkleistung P und der Imaginärteil von S ist die Blindleistung Q, beides sind reale physikalische Größen mit reellem Wert. Addition komplexer Zahlen Komplexe Zahlen lassen sich besonders einfach in der kartesischen Darstellung addieren, indem man jeweils separat (Realteil + Realteil) und (Imaginärteil + Imaginärteil) rechnet.
Komplexe Zahlen multiplizieren im Video zur Stelle im Video springen (02:39) Du hast wieder die zwei komplexen Zahlen und gegeben. Komplexe Zahlen Multiplikation Wenn du diese beiden komplexen Zahlen multiplizieren möchtest, dann rechnest du. Wir nehmen die komplexen Zahlen aus dem vorherigen Beispiel Multiplizierst du jetzt und miteinander, dann erhältst du. Auch die Multiplikation kannst du dir in der Gaußschen Zahlenebene veranschaulichen. Wenn du das Produkt berechnest, dann nimmst du den "Vektor", skalierst seine Länge um die Länge von dem "Vektor", also, und rotierst ihn zusätzlich um den Winkel vom "Vektor", also. Merke: Die Multiplikation in der Gaußschen Zahlenebene entspricht dem Strecken oder Stauchen mit zusätzlicher Rotation eines Vektors. Komplexe Zahlen Multiplikation in der Gaußschen Zahlenebene. Hinweis: Du musst diese Formel nicht auswendig lernen. Du kannst sie herleiten. Dafür brauchst du nur das Ausmultiplizieren von Klammern. Dabei musst du darauf achten, dass gilt.
Dieser Umstand bring uns zum Denken über diese Zahlen, die von Natur aus unmöglich sine and normalerweise als imaginär bezeichnet werden, dass sie nur im Kopf vorstellbar sind. 3 Jahrhundert: Niemand stellt die Genauigkeit des Ergebnisses, welches wir durch die Berechnung von imaginären Größen erhalten, in Frage, obwohl es sich nur um algebraische Formen handelt, und die Hieroglyphen unwirklicher Größen. 4 Es werden verschiedene Möglichkeiten zur Definition von komplexen Zahlen verwendet. Wir zeigen drei davon zeigen. Algebraische Form, Wobei a und b - reelle Zahlen sind, i – imaginäre Einheit, so dass i 2 =-1. a – entspricht dem Realteil, b – imaginärer Teil. Polarform, wobei r – Absolutwert der komplexen Zahl ist: ist ein Abstand zwischen Punkt 0 und ein Punkt auf der komplexen Ebene, und φ ist ein Winkel zwischen der positiven reellen Achse und dem komplexen Vektor (Argument). Exponentenfrom (Euler Identität) ist eine vereinfachte Version der Polarform, die der eulerschen Formel folgt.
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