Aufgaben zum Themengebiet "Harmonische Schwingungen - der freie ungedämpfte Oszillator", Teil 4 Arbeitsauftrag a) Ein Spielzeugauto der Masse m = 10 g wird an einem 0, 5 m langen Faden aufgehängt und kann nach Auslenkung um 10° harmonisch schwingen. Wie oft schwingt es in einer Zeit von 10 s hin und her? b) Nun setzen wir das Auto in eine Schale mit Radius 0, 5 m. Wie oft fährt hier das Auto in 10 s nach Auslenkung um 10° hin und her, d. Harmonische schwingung aufgaben lösungen arbeitsbuch. h. wie oft erreicht es seinen Umkehrpunkt? Hilfe 1 von 1 Überlegen Sie sich, mit welcher Bewegung das Hin- und Herfahren in der Schale vergleichbar ist! Hilfe Lösung Arbeitsauftrag Eine Spinne der Masse 1 g sitzt in der Mitte ihres vertikal aufgehängten Netzes, welches wir als masselos annehmen. Als ein Käfer der Masse 3 g mit einer Geschwindigkeit v 0 1 s senkrecht in die Mitte des Netzes fliegt, wird dieses um 1 cm gedehnt und es beginnt eine harmonische Schwingung. a) Nach welcher Zeit wird zum ersten Mal wieder die Gleichgewichtslage erreicht? b) Wie groß ist die Gesamtenergie dieser Schwingung?
Oszillatoren, deren Weg-Zeit-Funktion einer Sinusfunktion entspricht, heißen harmonische Oszillatoren. Relevanz der harmonischen Schwingungsgleichung Nun stellt sich uns die Frage, was wir denn mit der Schwingungsgleichung anfangen können. Die Antwort hierauf ist, dass wir bei einer bekannten Schwingungsdauer oder Frequenz sowie für eine bekannte Amplitude die Auslenkung eines harmonischen Oszillators zu jedem Zeitpunkt t berechnen können. Je nachdem, welche der Größen, T oder f bekannt ist, wählen wir eine der drei o. Aufgaben zur harmonischen Schwingung I • 123mathe. g. Varianten der Schwingungsgleichung aus. Anwendungsbeispiel für die harmonische Schwingungsgleichung Ein harmonischer Oszillator schwingt mit einer Schwingungsdauer von 1, 2 Sekunden. Die maximale Auslenkung beträgt 12 cm. Zum Zeitpunkt t = 0 s befindet sich der Oszillator in der Ruhelage auf dem Weg nach oben in positive y-Richtung. Frage: Wo befindet sich der Oszillator zu folgenden Zeitpunkten? t = 0, 6 s t = 1 s t = 1, 5 s Lösung: Gegeben sind folgende Werte: T = 1, 2 s ymax = 12 cm Wir setzen in die Schwingungsgleichung für harmonische Schwingungen die gegebenen Werte ein und berechnen so die jeweilige Auslenkung.
Uns soll es nun im Folgenden genau um jene harmonischen Schwingungen bzw. Bewegungen gehen. Doch wie leiten wir die Bewegungsgleichung für derartige ab? Herleitung der Bewegungsgleichung für harmonische Schwingungen Um eine Funktion für die Auslenkung (Elongation) in Abhängigkeit von der Zeit zu finden, stellen wir folgende Überlegung auf: Die Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung entspricht der Bewegung eines harmonischen Schwingers (Oszillator). Unter jener können wir uns die Bewegung eines Körpers auf einer Kreisbahn vorstellen, bei der in gleich langen Zeitabschnitten gleich lange Wegstrecken zurückgelegt werden. Lösungen zur harmonischen Schwingung I • 123mathe. Für uns ist es vor allem wichtig zu wissen, dass der Betrag der Bahngeschwindigkeit gleich bleibt, nicht aber die Richtung. Der Radius r entspricht dabei der Amplitude ymax und die Umlaufdauer entspricht der Schwingungsdauer t: Abb. 1: Die Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung aus: Für die Elongation y gilt jeweils: Der Winkel (phi), den man auch als Phasenwinkel oder nur als Phase bezeichnet, kannst du mit Hilfe der Umlaufzeit ausdrücken.
1. Die Pendeluhr a)Was muss man tun, wenn eine Pendeluhr zu schnell geht? b)Ändert sich ihr Zeittakt, wenn die Amplituden des Pendels immer kleiner werden? c)Wie muss man verfahren, damit das Pendel mit halber Frequenz schwingt? Ausführliche Lösung a) Wenn die Pendeluhr zu schnell geht, muss man die Pendellänge vergrößern. Das lässt sich in den meisten Fällen durch eine Einstellschraube am unteren Ende des Pendels erreichen. Dadurch wird die Periodendauer der Schwingung vergrößert. b) Die Verringerung der Amplituden haben keinen Einfluss auf die Periodendauer und damit auf den Zeittakt. Die Periodendauer der harmonischen Schwingung ist nur von der Pendellänge l und der Gravitationskonstante g abhängig. c) Für die Frequenz der harmonischen Schwingung gilt: Die halbe Frequenz wird bei einer vierfachen Pendellänge erreicht. Harmonische schwingung aufgaben lösungen kursbuch. 2. Ein Fadenpendel schwingt mit der Periodendauer T 1 = 1, 91 s. Wenn man den Faden um 130 cm verlängert, erhöht sich die Periodendauer auf 2, 98 s. Berechnen Sie aus diesen genau messbaren Angaben die Fallbeschleunigung für den Ort, an dem das Pendel schwingt.
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c) Wie groß ist die Geschwindigkeit beim Durchlaufen der Ruhelage? d) Wo befinden sich Spinne und Käfer nach 7 s, wenn zum Zeitpunkt t=0 s nach Auslenkung um die Ruhelage die Schwingung von rechts startet? Mit welcher bekannten Schwingung ist diese hier vergleichbar? Arbeitsauftrag Reduzierte Pendellänge Wir betrachten die Anordnung in obiger Abbildung: Während des Schwingens des Fadenpendels der Länge l trifft der Faden des Pendels auf einen Stift, der im Abstand von cm unterhalb der Aufhängung angebracht ist, so dass nur noch ein Teil des Fadenpendels schwingt. a) Wie groß ist der Abstand des Stifts von der Aufhängung, wenn die Schwingungszeit dieses abgeänderten Pendels für beide unterschiedlichen Halbschwingungen zusammen 1, 5 beträgt? b) Wie hoch schwingt die Masse nach rechts nach Einbringen des Stifts, wenn um Φ ° ausgelenkt wurde, und wie groß ist die dann zu Stande kommende Auslenkung 2? Verwenden Sie zur Berechnung die Geometrie der Anordnung! Schwingungen - Freie, harmonische Schwingungen | Aufgabe mit Lösung. Lösung
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Als die Preußen zu Beginn des 19. Jahrhunderts in unserer Heimat die (im Kern) bis heute gültige Gemeindeordnung einführten, war die Lokalverwaltung auch in Much überschaubar familiär: dem Bürgermeister standen lediglich zwei (ehrenamtliche) Beigeordnete, von denen einer als Standesbeamter fungierte, sowie ein Sekretär und der "Polizeidiener" zur Seite. Erst 1840 gesellte sich ein Steuereinnehmer, 1843 ein Vollziehungsbeamter und ein Gemeinde-Wegeaufseher, 1875 ein Provinzial-Straßenaufseher, 1878 ein "Fußgendarm" und 1879 ein Katasterkontrolleur hinzu. Ihre Amtsgeschäfte versahen diese Herren in zwei Zimmern des Wohnhauses des Bürgermeisters: 1817-1864 in Schmerbach (Bürgermeister Josef Scherer) und 1864-1888 im Dorf Much (Bürgermeister Karl Komp). Nach Komps Versetzung wagte der Mucher Gemeinderat einen großen Wurf – den Bau eines eigenen "Gemeindehauses". Gemeinde Much :: Verwaltung. Damals gab es im Siegkreis ein solches Dienstgebäude nur in den schon vom Tourismus geprägten, wohlhabenden Kommunen Königswinter und Honnef.