(f(x) = x^4) Es handelt sich ja nur um eine hinreichende Bedingung, was nun mal nicht den Umkehrschluss zulässt "Die zweite Ableitung muss ungleich 0 sein, damit eine Extremstelle vorliegt". Der Fehler liegt hier: wenn die zweite Ableitung Null ist, befindet sich in der ersten Ableitung ein Extremum Das ist nicht zwingend. Man muss dann die 3. Ableitung bzw Vorzeichenwechsel-Test ranziehen, um das zu überprüfen. Es muss sich nicht um ein Extremum handeln, sondern kann sich auch um eine Wendestelle handeln. Bei x^4 sieht man das wieder gut: 4x^3 ist die erste Ableitung und sie hat keine Extremstellen, nur einen Wendepunkt an besagter Stelle. Obwohl die 2. Ableitung an dieser Stelle 0 ist. Aber abgesehen von diesem Sonderfall, dass die 1. und 2. Ableitung 0 sind, ist das richtig und du hast denke ich soweit alles richtig verstanden. Extrempunkt (notwendige, hinreichende Bedingung). Anzeige 24. 2011, 16:01 Ja, dann habe ich das richtig verstanden. Es ging in dem Auszug schließlich um die hinreichende Bedingung. 24. 2011, 16:09 ich sehe das so: notwendige Bedingung (nicht umkehrbar) notwendige und hinreichende Bedingung (umkehrbar) 24.
Notwendige Bedingung: f''(x) = 0 Hinreichend: f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0 Die zweite Ableitung war f''(x) = 6x+6 Die dritte ist also f'''(x) = 6 f''(x) = 6x+6 = 0 x = -1 Es ist f'''(-1) = 6 und damit haben wir an der Stelle x = -1 eine Wendestelle. In f(x) eingesetzt: W(-1|11) 3 Antworten Hi, Erster Schritt: Ableitungen bilden f(x) = x^3+3x^2-9x f'(x) = 3x^2+6x-9 f''(x) = 6x+6 Not. Bedingung: f'(x) = 0 3x^2+6x-9 = 0 |:3, dann pq-Formel x 1 = -3 x 2 = 1 Hinr. Extremstellen, Extrempunkte | MatheGuru. Bedingung: f'(x) = 0 und f''(x) ≠ 0 Wenn Du x 1, 2 in f''(x) einsetzt, bekommst Du Werte ungleich 0. f''(-3) < 0 -> Hochpunkt f''(1) > 0 -> Tiefpunkt Nun einsetzen in f(x) H(-3|27) T(1|-5) Graphische Kontrolle: Grüße Beantwortet 4 Mai 2014 von Unknown 139 k 🚀 f(x)=x 3 +3x 2 -9x f'(x)= 3x 2 +6x-9 f''(x)= 6x+6 itung gleich Null setzen und nach x auflösen. 3x 2 +6x-9=0 |:3 x 2 +2x-3=0 |pq-Formel x 1 =1 x 2 = -3 f''(x)= >0 T f''(x)= <0 H damit in die itung f''(1)= 6*1+6= 12 TIefpunkt f''(-3)= 6*(-3)+6 = -12 Hochpunkt T(1|-5) H(-3|27) Integraldx 7, 1 k f(x) = x 3 + 3x 2 - 9x f'(x) = 3x 2 + 6x - 9 f''(x) = 6x + 6 Notwendige Bedingung für einen Extrempunkt: f'(x) = 0 Hinreichende Bedinung für ein Maximum: f''(x) < 0 Hinreichende Bedingung für ein Minimum: f''(x) > 0 f'(x) = 3x 2 + 6x - 9 = 0 |:3 x 2 + 2x - 3 = 0 | pq-Formel x 1, 2 = -1 ± √(1 + 3) x 1 = -1 + 2 = 1 x 2 = -1 - 2 = -3 Das war die notwendige Bedingung.
\(f''(x_1)=6\cdot 1-12=-6\) Da \(f''(x_1)\lt 0\) ist, liegt hier ein Hochpunkt vor. Jetzt können wir \(x_2\) in die zweite Ableitung einsetzen. \(f''(x_2)=6\cdot 3-12=6\) Da \(f''(x_2)\gt 0\) ist, liegt hier ein Tiefpunkt vor. Zum Schluss müssen wir die \(y\)-Werte vom Hochpunkt und vom Tiefpunkt berechnen. Dazu setzen wir \(x_1\) und \(x_2\) in unsere Funktion Setzen wir zunächst \(x_1\) ein: \(\begin{aligned} y_1&=f(x_1)=1^3-6\cdot 1^2+9\cdot 1-2\\ &=2 \end{aligned}\) jetzt setzen wir \(x_2\) ein: y_2&=f(x_2)=3^3-6\cdot 3^2+9\cdot 3-2\\ &=-2 Die Funktion besitzt bei \((1|2)\) ein Hochpunkt und bei \((3|-2)\) ein Tiefpunkt. Es ist ratsam die hinreichende Bedingung zu überprüfen, auch wenn man den Graphen der Funktion gezeichnet hat und die Hochpunkte bzw. Tiefpunkte sehen kann. Extrempunkte berechnen Differentialrechnung • 123mathe. Lokale und Globale Extrempunkte Bis jetzt haben wir zwei Arten von Extrempunkten kennen gelernt. Zum einen gibt es Hochpunkte und zum anderen Tiefpunkte. Diese zwei werden jedoch nochmals in globale und lokale Extrema unterschieden.
Wenn ein Graph einer Funktion einen lokalen Extrempunkt aufweist, muss dort die Ableitung eine Nullstelle haben. Umgekehrt gilt das leider nicht, denn an den Nullstellen der Ableitung können auch Sattelpunkte existieren. Daher ist eine genaue Untersuchung mit einer notwendigen und einer hinreichenden Bedingung erforderlich. Auf dem Graphen liegt ein lokaler Tiefpunkt, ein Sattelpunkt und ein lokaler Hochpunkt. An allen drei Punkten gibt es jeweils eine waagerechte Tangente. Notwendige Bedingung für lokale Extrempunkte: Die Ableitung f' muss eine Nullstelle haben. Hinreichende Bedingung: f' muss einen Vorzeichenwechsel (VZW) aufweisen. Der Sattelpunkt ist kein Extrempunkt, hier hat f' eine doppelte Nullstelle ohne VZW. Bewerte diesen Beitrag Durchschnittlich / 5. Anzahl der Bewertungen Vorheriger Beitrag: Übung: Quadratische Funktionen in Linearfaktoren zerlegen Nächster Beitrag: Extrempunkte: Notwendige und hinreichende Bedingung mit dem GTR Schreibe einen Kommentar Kommentar Name E-Mail Website Meinen Namen, meine E-Mail-Adresse und meine Website in diesem Browser speichern, bis ich wieder kommentiere.
Diese Aussagenverbindung ist gleichwertig mit. Die Behauptung F ist dann und nur dann wahr, wenn E erfüllt ist. Die Implikation ist umkehrbar, d. h., es gilt auch, wenn A notwendig und hinreichend für B ist. logisches Kauderwelsch 24. 2011, 15:22 ok, tatsächlich. Danke sehr Hier müsste man dann auf Vorzeichenwechsel prüfen. Auf der Seite hier finde ich folgendes: Und weiterhin ist klar, dass die zweite Ableitung in der hinreichenden Bedingung nicht Null sein darf. Denn wenn die zweite Ableitung Null ist, befindet sich in der ersten Ableitung ein Extremum, was Nullstelle zur ersten Ableitung ist und somit würde sich die Steigung der Funktion nicht ändern und es würde sich deshalb nicht um einen Extrempunkt handeln. Hier ist das Problem ja wieder, dass nicht zwingend impliziert... Oder sehe ich das falsch? 24. 2011, 15:58 Und weiterhin ist klar, dass die zweite Ableitung in der hinreichenden Bedingung nicht Null sein darf. Haben wir nicht gerade gezeigt, dass sie 0 sein darf und der Punkt ist trotzdem eine Extremstelle?
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