length! = n) { // Falls abweichende Zeilenlänge... System. out. println ( "Matrix nicht quadratisch! "); // Fehlermeldung return null; // Rückgabewert}} // Dimensionsprüfung für Vektor: if ( v. length! = n) { // Falls falsche Dimension... System. Gauß jordan verfahren rechner 2020. println ( "Dimensionsfehler! "); // Fehlermeldung return null; // Rückgabewert} // Erweiterte Koeffizientenmatrix: double [][] a = new double [ n][ n + 1]; // Neues Array for ( int j = 0; j < n; j ++) // Für alle Spaltenindizes... a [ i][ j] = m [ i][ j]; // Element der Koeffizientenmatrix übernehmen a [ i][ n] = v [ i]; // Element des Vektors übernehmen} // Berechnung: for ( int j = 0; j < n; j ++) { // Für alle Spaltenindizes... int p = j; // Variable für Zeilenindex while ( p < n && a [ p][ j] == 0) p ++; // Index erhöhen, bis Spaltenelement ungleich 0 if ( p == n) { // Falls Suche erfolglos... System. println ( "Matrix nicht invertierbar! "); // Fehlermeldung if ( p!
Denkt man sich die erste Spalte und die erste Zeile weg, so erhält man ein kleineres LGS. Wende jetzt den Algorithmus von vorne auf das kleinere LGS an. Ergebnis ist eine Treppenform der Matrix, insbesondere stehen unter der Diagonale nur Nullen. Wende die oberen Schritte von vorne an, mit der rechten unteren anstatt linken oberen Zahl als Startpunkt. Das Ergebnis ist eine Diagonalmatrix und die Zahlen rechts vom Trennstrich ist die Lösung des LGS. Ein Beispiel Schritt für Schritt Gegebenes LGS: Schritt 1: Nicht nötig. Schritt 2: Wir dividieren die erste Zeile durch -2. Im Folgenden verwendete Kurzschreibweise: I = I /(-2) Schritt 3: Damit die erste Zahl in der zweiten Zeile Null wird, müssen wir von der zweiten Zeile das dreifache der ersten Zeile abziehen. Gauß jordan verfahren rechner obituary. II = II – 3*I Von der dritten Zeile muss das vierfache der ersten Zeile abgezogen werden. III = III – 4*I Schritt 4: Man denkt sich die erste Zeile und die erste Spalte weg und beginnt beim 1. Schritt. Entfällt, weil in der zweiten Zeile an der zweiten Stelle bereits keine Null steht.
Wir müssten in der zweiten Zeile die zweite Zahl, also die -7 auf 1 bringen. II = II / (-7) Aus -8 muss 0 werden. Also: III = III -(-8)*II = III + 8*II An dieser Stelle sehen wir bereits, dass c=-3 ist. Man könnte jetzt a und b durch Einsetzen bekommen, aber das ist nicht der Sinn dieses Beispiels. Es geht weiter. Schritt 5: Die Matrix hat jetzt eine Treppenstufenform bzw. Gauß-Jordan-Algorithmus / Gauß-Jordan-Verfahren | Mathematik - Welt der BWL. konkret sogar eine Dreiecksform. An dieser Stelle beginnt der Algorithmus von vorne mit unterer rechter Zahl (-1) als Ausgangspunkt. Entfällt, da -1 ungleich Null ist. III = III / (-1) Wir wiederholen das Spiel in dem wir versuchen die Zahlen oberhalb der letzten unteren Zahl zu eliminieren. I = I – 3*III II = II – III Man beginnt den Algorithmus von vorne mit 1 in der Mitte als Ausgangspunkt. Schritt 1 und 2: Entfallen. I = I – 2*II Damit hat die Matrix eine Diagonalform. Wir könnten auch schreiben: 1a + 0b + 0c = 3 0a + 1b + 0c = 2 0a + 0b + 1c = -3 Was direkt der Lösung a=3; b=2; c=-3 entspricht. Wenn man die Zwischenschritte weg lässt, dann wird deutlich, wie wenig Schreibarbeit so ein Lösungsweg braucht.
Dazu multipliziert man den Vektor mit und bekommt als Ergebnis:. Aus unserem Beispiel: Die Transformationsmatrix von B nach A kann nach einer einfachen Regel ausgerechnet werden.
Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein Algorithmus aus den mathematischen Teilgebieten der linearen Algebra und der Numerik. Es ist ein wichtiges Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Das Verfahren wurde um 1850 von Carl Friedrich Gauß bei Arbeiten auf dem Gebiet der linearen Gleichungssysteme entwickelt, allerdings hatte der chinesische Mathematiker Liu Hui bereits im Jahr 263 eine Beschreibung des Lösungsschemas veröffentlicht. Erklärung Ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen bzw. Gauß jordan verfahren rechner youtube. Unbekannten (x, y, z) und den jeweiligen Koeffizienten a, b, c, e hat die Form: a 1 x + a 2 y + a 3 z = e 1 a_1x+a_2y+a_3z = e_1; b 1 x + b 2 y + b 3 z = e 2 b_1x+b_2y+b_3z = e_2; c 1 x + c 2 y + c 3 z = e 3 c_1x+c_2y+c_3z = e_3. Der Algorithmus zur Berechnung der Variablen x, y x, \, y und z z lässt sich in zwei Etappen einteilen: Vorwärtselimination, Rückwärtseinsetzen (Rücksubstitution). Im ersten Schritt wird das Gleichungssystem durch Äquivalenzumformungen, bei denen die Informationen des Gleichungssystems nicht geändert werden, in die Stufenform gebracht.
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