Übersicht Basiswissen Exponentialfunktionen gibt es in verschiedenen Varianten. Jede Variante hat einen eigenen Lösungsweg. Diese sind hier kurz angedeutet. Grundlegende Lösungsidee Man setzt beide Punkte in den Grundbauplan der gesuchten Funktionsgleichung ein. Exponentialfunktion aus zwei Punkten (Übersicht). Dadurch entstehen zwei Gleichungen mit Unbekannten, also ein lineares Gleichungssystem. Dieses löst man. Erweiterte Exponentialfunktion ◦ f(x) = a·c^x ◦ Gegeben (1|2) und (4|0, 25) ◦ Es gibt zwei Unbekannte: a und c ◦ Beide Punkte einsetzen und dann LGS lösen. ◦ Ausführliche Erklärung steht auf der Seite: ◦ => Erweiterte Exponentialfunktion aus zwei Punkten Einfache Exponentialfunktion ◦ f(x) = a^x ◦ Gegeben: (3|8) und (5|32) ◦ Es gibt nur eine Unbekannte: a ◦ Man bestimmt a mit einem der zwei Punkte. ◦ Mit dem anderen Punkte macht man dann eine Probe. ◦ Ersten Punkte einsetzen: ◦ 8 = a^3 | dritte Wurzel ◦ Mögliche Lösung: f(x) = 2^x ◦ 2 = a | Probe mit zweitem Punkt: ◦ 32 = 2^5, also: ◦ f(x) = 2^x ✔ Einfache e-Funktion ◦ f(x) = e^x ◦ Es gibt keine Unbekannte.
Definition: Exponentialfunktionen der Form $$y=a*b^x$$ Eine Funktion mit der Gleichung $$y=a*b^x$$ mit $$a ne 0$$, $$b>0$$ und $$b ne 1$$ heißt Exponentialfunktion zur Basis $$b$$ mit dem Streckfaktor $$a$$. Das $$b$$ heißt Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor. Das $$a$$ kann als Startwert bei exponentiellen Wachstums- bzw. Zerfallsvorgängen aufgefasst werden. Dazu später mehr. kann mehr: interaktive Übungen und Tests individueller Klassenarbeitstrainer Lernmanager Graphen von $$y=a*2^x$$ Hier siehst du verschiedene Funktionen der Form $$y=a*2^x$$ mit verschiedenen Werten für $$a$$. Exponentialfunktionen - Matheretter. Siehst du die Zusammenhänge zwischen den Graphen? Der Graph fällt für $$b$$ zwischen $$0$$ und $$1$$ (exponentieller Zerfall). Der Graph steigt für $$b$$ größer $$1$$ (exponentielles Wachstum). Der Faktor $$a$$ bewirkt eine Streckung in y-Richtung, falls $$a>1$$ (z. B. $$3$$; $$5, 5$$; $$20$$). Das ist auch so, wenn $$a<-1$$ ist (z. $$-3$$; $$-5, 5$$; $$-20$$). Der Faktor $$a$$ bewirkt eine Stauchung in y-Richtung, falls er zwischen $$0$$ und $$1$$ liegt.
Wäre "k" in diesem Beispiel negativ, wäre die Exponentialfunktion um zwei Einheiten nach unten übersetzt worden. "k" ist eine besonders wichtige Variable, da sie auch dem entspricht, was wir die horizontale Asymptote nennen! Eine Asymptote ist ein Wert für x oder y, dem sich eine Funktion nähert, den sie aber nie erreicht. Nehmen wir als Beispiel die Funktion y=2xy=2^xy=2x: Für diese Exponentialfunktion ist k=0, und somit ist die "horizontale Asymptote" gleich 0. Bestimme die Gleichung einer Exponentialfunktion - bung 5. Das macht Sinn, denn egal welchen Wert wir für x einsetzen, wir werden y nie gleich 0 bekommen. Für unsere andere Funktion y=2x+2y=2^x+2y=2x+2, ist k=2, und daher ist die horizontale Asymptote gleich 2. Es gibt keinen Wert für x, den wir verwenden können, um y=2 zu machen. Und das sind alle Variablen! Wiederum sind einige davon komplizierter als andere, sodass es einige Zeit dauern wird, bis man sich daran gewöhnt hat, mit allen zu arbeiten und sie zu finden. Um einen besseren Einblick in Exponentialfunktionen zu bekommen und sich mit der obigen allgemeinen Gleichung vertraut zu machen, besuchen Sie diese ausgezeichnete Website für grafische Rechner hier.
Damit Sie aber alle Informationen haben, die Sie über Exponentialfunktionen und die grafische Darstellung von Exponentialfunktionen benötigen, lassen Sie uns kurz skizzieren, was die Änderung jeder dieser Variablen mit dem Graphen einer Exponentialgleichung macht. 1) Variable "a" Lassen Sie uns den Graphen von y=2xy=2^xy=2x mit einer anderen Exponentialgleichung vergleichen, bei der wir "a" ändern, und wir erhalten y=(-4)2xy=(-4)2^xy=(-4)2x Vergleiche den Graphen von y = 2^x und y = (-4)2^x Indem wir diese Transformation durchführen, haben wir den ursprünglichen Graphen von y=2xy=2^xy=2x um seine y-Werte "gestreckt" und "gespiegelt". Um "a" durch Betrachten des Graphen zu finden, ist es wichtig zu wissen, dass der y-Achsenabschnitt unseres Graphen immer gleich "a" ist, wenn x=0 ist und wir keinen Wert für "k" haben. 2)Variable "b" Auch als "Basiswert" bekannt, ist dies einfach die Zahl, an die der Exponent angehängt ist. Um ihn zu finden, ist Algebra nötig, die wir später in diesem Artikel besprechen werden.
Was sind Exponentialfunktionen? Bevor wir uns mit Exponentialfunktionen und dem Graphen von Exponentialfunktionen beschäftigen, wollen wir zunächst einen Blick auf die allgemeine Formel und Theorie hinter Exponentialfunktionen werfen. Nachfolgend sehen Sie eine der allgemeinsten Formen eines Exponentialgraphen: Ein allgemeines Beispiel eines Exponentialgraphen Die Gleichung der Exponentialfunktion zu diesem Graphen ist y=2xy=2^xy=2x, und ist der einfachste Exponentialgraph, den wir erstellen können. Wenn Sie sich fragen, wie y=1xy=1^xy=1x aussehen würde, hier ist sein Exponentialgraph: Graph von y = 1^x Nun, um zu verstehen, warum die Graphen von y=2xy=2^xy=2x und y=1xy=1^xy=1x so unterschiedlich sind, schaut man sich am besten einige Tabellen an, um die Theorie hinter Exponentialfunktionen zu verstehen. Die Tabelle der Werte von y = 1^x und y = 2^x Oben sehen Sie drei Tabellen für drei verschiedene "Basiswerte" – 1, 2 und 3 -, die alle eine Potenz von x sind. Wie Sie sehen können, bleibt bei Exponentialfunktionen mit einem "Basiswert" von 1 der Wert von y konstant bei 1, weil 1 hoch 1 einfach 1 ist.
Mit der kannst du dann weiterrechnen. $$a)$$ Veränderung pro 1 Zeiteinheit: Beispiel: Ein Anfangsbestand von 75 vervierfacht sich jede Stunde ($$x$$ →1 Stunde). Dann ist $$a=75$$ (der Anfangsbestand) und $$b=4$$ (Wachstumsfaktor, Vervierfachung pro Stunde). Also: $$y=75*4^x$$. $$b)$$ Veränderung bei beliebiger Zeiteinheit Beispiel: Ein Anfangsbestand von 75 vervierfacht sich alle 3 Stunden (x → 1 Stunde). $$a$$ ist immer noch 75. Der Wachstumsfaktor muss sich nun aber verändern, weil eine Vervierfachung nun erst nach 3 Stunden erfolgt. So sieht das in der Wertetabelle aus: Die Pfeildarstellung entspricht der Gleichung $$b*b*b=b^3=4$$ |3. Wurzel ziehen $$⇔ b=root(3)4$$ $$⇒ y=75*$$ $$(root(3) 4)^x$$. Tipp: Beachte die Sätze mit um und auf. Beispiel: Ein Anfangsbestand von 18 nimmt pro Stunde um 10% ab. Das heißt, dass nach 1 Stunde noch 90% da sind. Prozentangaben wandelst du in Dezimalzahlen um. Also: $$y = 18 *0, 9^x$$. kann mehr: interaktive Übungen und Tests individueller Klassenarbeitstrainer Lernmanager
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