Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Beziehungen zwischen Funktion, Ableitungs- und Stammfunktion
Es sei f eine Polynomfunktion dritten Grades, f ′ ihre Ableitungsfunktion und F eine der Stammfunktionen von f.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht! Die zweite Ableitungsfunktion der Funktion ____ 1 ____ ist die Funktion ____ 2 ____.
Zusammenhang Funktion Und Ableitung 2019
Lösung (Monotonieintervalle und Nachweis einer Nullstelle)
Monotonieintervalle:
És gilt: ist auf ganz differenzierbar, mit
Damit ist
Nach dem Monotoniekriterium ist auf und auf streng monoton steigend. Weiter gilt
Nach dem Monotoniekriterium ist auf streng monoton fallend. besitzt genau eine Nullstelle:
Für gilt die folgende Wertetabelle
Auf Grund der zuvor untersuchten Monotonieeigenschaften und der Stetigkeit von können wir damit ablesen:
Auf ist streng monoton steigend. Wegen gilt für alle. Auf ist dann streng monoton fallend. Zusammenhang Funktion - Ableitungsfunktion - Stammfunktion | Maths2Mind. Also gilt auch für alle. Anschließend steigt auf wieder streng monoton. Wegen und, muss es nach dem Zwischenwertsatz ein geben mit. Wegen der strengen Monotonie kann in keine weiteren Nullstellen haben. Notwendiges und hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie [ Bearbeiten]
Aufgabe (Notwendiges und hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie)
Beweise: Eine stetige Funktion, die auf differenzierbar ist, ist genau dann streng monoton steigend, wenn gilt
für alle
Die Nullstellenmenge von enthält kein offenes Intervall.
Hinrichtung 1: Aus auf folgt, dass monoton steigend auf ist. Gelte für alle und seien mit. Wir müssen zeigen. Nach Voraussetzung ist auf stetig und auf differenzierbar. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein mit
Nach Voraussetzung ist, und somit. Wegen folgt daraus für den Zähler. Dies ist äquivalent zu, d. h. ist monoton steigend. Hinrichtung 2: Aus auf folgt, dass monoton fallend auf ist. Gelte für alle und seien mit. Wir müssen nun zeigen. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein mit
Nun ist, und somit. Wegen folgt daraus. ist monoton fallend. Hinrichtung 3: auf impliziert streng monoton steigend auf
Zeigen wir zur Abwechslung diese Aussage mittels Kontraposition. Sei also nicht streng monoton steigend. Erste und zweite Ableitung - Mathe Lerntipps. Dann gibt es mit und. Wir müssen zeigen, dass es ein mit gibt. Nun ist stetig auf und differenzierbar auf. Nach dem Mittelwertsatz gibt es daher ein mit
Wegen ist der Zähler des Quotienten nicht-positiv, und wegen ist der Nenner positiv. Damit ist der gesamte Bruch nicht-positiv, und daher. Hinrichtung 4: auf impliziert streng monoton fallend auf
Wieder benutzen wir Kontraposition.
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