In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Bedeutung bzw. der Interpretation der zweiten Ableitung. Falls du noch nicht weißt, wie man Ableitungen berechnet, solltest du dir den Themenbereich der Differentialrechnung durchlesen. Geometrische Interpretation Beispiel 1 Die blaue Kurve dreht sich im Uhrzeigersinn. Man sagt auch, dass sie konkav ist. Die rote Kurve dreht sich im Gegenuhrzeigersinn. Man sagt auch, dass sie konvex ist. Merkspruch Konkav ist der Buckel vom Schaf. 2. Ableitung | Mathebibel. In einem anderen Kapitel lernst du mehr über das Krümmungsverhalten einer Funktion. Ist die Funktion konkav oder konvex? Beispiel 2 $$ f(x) = -x^2 $$ $$ f'(x) = -2x $$ $$ f''(x) = -2 < 0 $$ Die Funktion $f(x) = -x^2$ ist konkav. Ihre zweite Ableitung ist (immer) kleiner Null. Beispiel 3 $$ f(x) = x^2 $$ $$ f'(x) = 2x $$ $$ f''(x) = 2 > 0 $$ Die Funktion $f(x) = x^2$ ist konvex. Ihre zweite Ableitung ist (immer) größer Null. Sonderfall: Funktion, die konkav und konvex ist Beispiel 4 $$ f(x) = x^3 - x^2 $$ $$ f'(x) = 3x^2 - 2x $$ $$ f''(x) = 6x - 2 $$ Wann ist die 2.
Ein interessantes (notwendiges und hinreichendes) Kriterium hierzu behandeln wir in der Übungsaufgabe am Ende des Abschnitts. Verständnisfrage: Warum ist auf streng monoton steigend? Wir müssen zeigen: Aus mit folgt. Für die Fälle und haben wir dies schon mit dem Monotoniekriterium gezeigt. Wir müssen also nur noch den Fall betrachten. Hier gilt mit den Anordnungsaxiomen: Also ist auf streng monoton steigend. Warnung An dem Beispiel haben wir gesehen, dass die Rückrichtung der Monotonieaussage " impliziert strenge Monotonie" nicht gilt. Das heißt, dass aus der Tatsache, dass streng monoton steigt, im Allgemeinen nicht folgt. Wichtige Zusammenhänge Analysis, Funktionen F(x) und f(x), ableiten, aufleiten, Abitur Übungen - YouTube. Am Beispiel der Funktion kann man ebenso sehen, dass die Rückrichtung von der Aussage " impliziert streng monotones Fallen" nicht gilt. Exponential- und Logarithmusfunktion [ Bearbeiten] Beispiel (Monotonie der Exponential- und Logarithmusfunktion) Für die Exponentialfunktion gilt für alle: Daher ist nach dem Monotoniekriterium auf ganz streng monoton steigend. Für die (natürliche) Logarithmusfunktion gilt für alle: Somit ist auf ebenfalls streng monoton steigend.
Lösung (Monotonieintervalle und Nachweis einer Nullstelle) Monotonieintervalle: És gilt: ist auf ganz differenzierbar, mit Damit ist Nach dem Monotoniekriterium ist auf und auf streng monoton steigend. Weiter gilt Nach dem Monotoniekriterium ist auf streng monoton fallend. besitzt genau eine Nullstelle: Für gilt die folgende Wertetabelle Auf Grund der zuvor untersuchten Monotonieeigenschaften und der Stetigkeit von können wir damit ablesen: Auf ist streng monoton steigend. Wegen gilt für alle. Auf ist dann streng monoton fallend. Also gilt auch für alle. Zusammenhang funktion und ableitung full. Anschließend steigt auf wieder streng monoton. Wegen und, muss es nach dem Zwischenwertsatz ein geben mit. Wegen der strengen Monotonie kann in keine weiteren Nullstellen haben. Notwendiges und hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie [ Bearbeiten] Aufgabe (Notwendiges und hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie) Beweise: Eine stetige Funktion, die auf differenzierbar ist, ist genau dann streng monoton steigend, wenn gilt für alle Die Nullstellenmenge von enthält kein offenes Intervall.
Aber s elbst relativ einfach erscheinende Funktionen wie \(f\left( x \right) = {e^{ - {x^2}}}\) sind nicht elementar integrierbar, d. h. ihre Stammfunktion lässt sich nicht durch elementare Funktionen darstellen. Zusammenhang funktion und ableitung heute. \(\begin{array}{l} \int {f(x)\, \, dx = F\left( x \right) + C} \\ F'\left( x \right) = f\left( x \right) \end{array}\) Zusammenhang Stammfunktion F(x) - Funktion f(x) - Ableitungsfunktion f'(x) Beim Auffinden von Stammfunktionen bedient man sich gerne einer Tabelle in der die wichtigsten Funktionen f(x) und Ihre Ableitungsfunktionen f'(x) sowie die zugehörigen Stammfunktionen F(x) angeführt sind.
Verständnisfrage: Wie ist das Monotonieverhalten der auf erweiterten Logarithmusfunktion? Es gilt Oben haben wir für gezeigt. Also ist auf ebenfalls streng monoton steigend. Für ist hingegen. Daher ist auf streng monoton fallend. Trigonometrische Funktionen [ Bearbeiten] Beispiel (Monotonieverhalten der Sinusfunktion) Für die Sinus-Funktion gilt Daher ist für alle auf den Intervallen streng monoton steigend und auf den Intervallen streng monoton fallend. Zusammenhang funktion und ableitung mit. Verständnisfrage: Wie lauten die Monotonieintervalle der Kosinus-Funktion? Hier gilt. Beispiel (Monotonieverhalten des Tangens) Für die Tangens-Funktion gilt für alle Damit ist für alle auf den Intervallen streng monoton steigend. Verständnisfrage: Wie ist das Monotonieverhalten der Kotangens-Funktion? Hier ist für alle Also ist für alle auf den Intervallen streng monoton fallend. Übungsaufgaben [ Bearbeiten] Monotonieintervalle und Nachweis einer Nullstelle [ Bearbeiten] Aufgabe (Monotonieintervalle und Nachweis einer Nullstelle) Untersuche die Monotonieintervalle der Polynomfunktion Zeige außerdem, dass genau eine Nullstelle besitzt.
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