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Lineare Gleichungssysteme: Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren Lineare Gleichungen Definition / Übersetzung Linear = (gerade) Linie Gleichung = zwei Terme haben die gleiche Aussage Lineare Gleichung definieren Geraden Lineare Gleichungen (mit 2 Variablen) können eine Lösung = Schnittpunkt haben dann ist es eine eindeutige Lösung die Graphen der beiden linearen Gleichungen schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt ( z.
Auflösen: nach einer Variablen auflöst -11 + 4x = 13 – 2x | +2 x -11 + 6x = 13 |+11 6x = 24 | /6 x = 4 4. Einsetzen: das Ergebnis einsetzen: für x wird 4 eingesetzt y – 4x = -11 | + 4x y – 4*4 = -11 y – 16 = -11 | + 16 y = 5 Übungen dazu Additionsverfahren Das Prinzip: die (gesamten) Gleichungen werden so addiert, das nur eine Variable in der Gleichung übrig bleibt. Gegeben sind z. B: Gleichung: 3x + 7y = 47 Gleichung: -x + 3y = 11 1. Lineare Gleichungssysteme Einsetzungsverfahren Übungen. Umformen: eine Gleichung wird mit einer Zahl multipliziert, sodass bei der (späteren) Addition eine Variable wegfällt. -x + 3y = 11 | *3 -3x + 9y = 33 2. Addieren: die Gleichungen werden addiert 3x + 7y = 47 -3x + 9y = 33 ergibt: 0x + 16y = 80 | /16 y = 5 3. Einsetzen: die erhaltene Variable wird in die verbleibende Gleichung eingesetzt 3x + 7 y = 47 (Setze y = 5 in die Gleichung) <=> 3x + 7* 5 = 47 <=> 3x + 35 = 47 | -35 <=> 3x = 12 | /3 <=> x = 4 Übungen dazu Onlineübungen Lineare Gleichungssysteme: Einsetzungs-, Gleichsetzungs-, Additionsverfahren Einsetzungsverfahren Gleichsetzungsverfahren Additionsverfahren Viele weitere hilfreiche Infos für den Matheunterricht.
Auflösen: eine der beiden Gleichungen wird nach einer Variablen aufgelöst (hier nach: 6y) 6y – 4x = 14 | + 4x 6y = 14 + 4x 2. Einsetzen: die eine Gleichung wird in die andere Gleichung eingesetzt (sodass nur noch eine Variable in den Gleichungen übrig bleibt) 6y + 6 = 2x + 28 (setzte den vorher ausgerechneten Term nun in die Gleichung) 14 + 4x + 6 = 2x + 28 3. Ausrechnen: nach der verbleibenden Variablen auflösen 14 + 4x + 6 = 2x + 28 | – 2x 14 + 6 + 2x = 28 | -20 2x = 8 x = 4 einsetzen: die ausgerechnete Variable einsetzen, um die andere Variable zu erhalten. Probe: beide Variablen einsetzen und ausrechnen. Übungen dazu Gleichsetzungsverfahren Das Prinzip: die Gleichungen werden gleich gesetzt. Einsetzungsverfahren in Mathematik | Schülerlexikon | Lernhelfer. Gegeben sind zum Beispiel: Gleichung: y – 4x = -11 Gleichung: y + 2x = 13 Vorgehen: 1. Umformen: beide Gleichungen werden nach einer Variablen umgeformt y – 4x = -11 | + 4x y = -11 + 4x und y + 2x = 13 | – 2x y = 13 – 2x 2. Gleichsetzen: die beiden Gleichungen werden gleichgesetzt -11 + 4x = 13 – 2x 3.
2. Schritt: Ausdruck der Variable in die andere Gleichung einsetzen Den Ausdruck, den wir für $x$ erhalten haben, können wir nun in die zweite Gleichung einsetzen. $3 \cdot x + 3\cdot y = 9~~~~| $x einsetzen $3 \cdot (5 - 2\cdot y) + 3\cdot y = 9$ Durch das Einsetzen von $x$ erhalten wir eine Gleichung, die nur eine Variable, in diesem Fall $y$, enthält. Durch Umformen erhalten wir einen exakten Wert für $y$: $3 \cdot (5 - 2\cdot y) + 3\cdot y = 9~~~~| $Klammer ausmultiplizieren $15 - 6\cdot y + 3\cdot y = 9~~~~|$zusammenfassen $15 - 3\cdot y = 9~~~~| -15$ $- 3\cdot y = - 6~~~~|: (-3)$ $y = 2$ 3. Schritt: Ausgerechnete Variable einsetzen Wir haben einen Wert für $y$. Nun müssen wir diesen Wert noch in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen, die ja sowohl die Variable $x$ als auch die Variable $y$ enthalten. Welche Gleichung du nimmst ist egal. Lineare gleichungen einsetzungsverfahren aufgaben referent in m. Wir setzen den errechneten Wert für $y$ in die erste Gleichung ein. $6\cdot x + 12 \cdot y = 30~~~~| $y einsetzen $6\cdot x + 12 \cdot 2 = 30~~~~| $umformen $6 \cdot x + 24 = 30~~~~| - 24$ $6 \cdot x =6~~~~|:6$ $x = 1$ Wir erhalten als Lösung also $x = 1$ und $y = 2$.
Einsetzungsverfahren anwenden Setze Gleichung in Gleichung ein (). Löse jetzt Gleichung nach auf. Setze jetzt die Lösung für in Gleichung ein, um auszurechnen. Setze jetzt die Lösung für in die Gleichung ein, um die Lösung für zu erhalten. Lineare Gleichungssysteme - Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren - Mathematikaufgaben und Übungen | Mathegym. Löse jetzt die Gleichung nach auf. $\begin{array}[t]{rll} \text{I} \quad 3x + (x - 3) &=&25 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Klammer auflösen}\\[5pt] \quad 3x + \color{#87c800}{x - 3}&=&25 &\quad \scriptsize \mid\; \text{ zusammenfassen}\\[5pt] \quad \color{#87c800}{4x} -3&=&25 &\quad \scriptsize \mid\; + 3 \\[5pt] \quad 4x &=& \color{#87c800}{28} &\quad \scriptsize \mid\;:4\\[5pt] \quad \color{#87c800}{x} &=& \color{#87c800}{7} \end{array}$ Setze jetzt das ausgerechnete in die Gleichung ein, um die Lösung für zu erhalten. \rightarrow Setze jetzt dein Ergebnis für in die Gleichung ein, um die Lösung für zu erhalten. Setze jetzt deine Lösung für in die Gleichung ein, um die Lösung für zu erhalten. f) g) Löse jetzt Gleichung, indem du zuerst die Variable zusammenfasst und anschließend nach auflöst.