Auf dieser Seite geht es darum, wie sich eine gegebene Normalengleichung einer Ebene in eine vektorielle Parametergleichung dieser Ebene umwandeln lässt. Dazu sei die folgende Ebene E in Normalenform gegeben: Eine Parametergleichung dieser Ebene lässt sich auf zwei verschieden Weisen herstellen. Normalenform zu Parameterform - Studimup.de. Für beide Varianten benötigt man zunächst die Koordinatenform der Ebene. Dazu bringen wir die gegebene Normalengleichung in die folgende Form und schreiben Vektor → x komponentenweise mit x, y, z Ausrechnen des Skalarproduktes auf beiden Seiten liefert die Koordinatenform 2x + 3y + 4z = 19 Aus dieser Darstellung können wir nun problemlos eine Parametergleichung der Ebene gewinnen.
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Geschrieben von: Dennis Rudolph Montag, 08. Juni 2020 um 18:25 Uhr Die Umwandlung einer Ebene von einer Parametergleichung in Normalenform sehen wir uns hier an. Dies sind die Themen: Eine Erklärung, wie man Ebenen umwandelt. Beispiele für die Umwandlung von Parameterdarstellung in Normalenform. Aufgaben / Übungen zum Umwandeln von Ebenen. Ein Video zur Ebenenumwandlung. Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet. Tipp: Um diese Ebenenumwandlung durchzuführen braucht ihr das Kreuzprodukt. Parametergleichung, Normalengleichung und Koordinatengleichung | Mathelounge. Dieses behandeln wir hier auch gleich noch. Falls ihr noch mehr darüber wissen wollt oder nicht alles versteht werft zusätzlich noch einen Blick in Kreuzprodukt / Vektorprodukt. Parametergleichung in Normalenform Erklärung In der analytischen Geometrie geht es manchmal darum eine Gleichung einer Ebenen umzuformen. Hier sehen wir uns an wie man von einer Ebenengleichung in Parameterform in eine Ebenengleichung in Normalenform kommt. Sehen wir uns die Vorgehensweise an. Vorgehensweise: 1. Wir nehmen die beiden Richtungsvektoren der Ebene und bilden einen Normalvektor.
Habt ihr die Parameterform einer Ebene gegeben und möchtet die Normalenform haben, geht ihr so vor: Normalenvektor berechnen, durch das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren Aufpunkt auswählen, dazu könnt ihr einfach den von der Parameterform nehmen, dies ist einfach irgendein Punkt, der auf der Ebene liegt dann nur noch den Normalenvektor und Aufpunkt in die Normalenform einsetzen Gegebensei die Ebene in Parameterform: 1. Berechnet den Normalenvektor durch das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren: 2. Aufgaben zur Umwandlung der Ebenendarstellung - lernen mit Serlo!. Nehmt einfach denselben Aufpunkt wie bei der Parameterform so müsst ihr hier nichts machen. 3. Setzt alles in die Formel der Normalenform ein:
Nächstes Video » Fragen mit Antworten: Ebene Parameterform in Normalenform In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen mit Antworten zur Parameterform in Normalenform an. F: Ich verstehe das Thema nicht. Wie kann ich dies ändern? A: Wenn ihr dieses Thema Ebenen und Ebenenumwandlung nicht versteht, solltet ihr erst einmal einen Blick auf diese Themen der Vektorrechnung werfen: Punkte in ein Koordinatensystem eintragen Vektoren Grundlagen Gerade in Parameterform F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt? A: Die Ebene von Parameterform in Normalenform umwandeln wird in der Oberstufe behandelt, meistens ab der 11. Klasse. F: Welche Themen sollte ich mir als nächstes ansehen? A: Wir arbeiten aktuell an diesen Themen und werden sie nach der Veröffentlichung hier verlinken: Unterschied Ortsvektor und Richtungsvektor Betrag / Länge eines Vektors Rechnen mit Vektoren Vektoren addieren Vektoren subtrahieren Mittelpunkt einer Strecke Vektorprodukt / Kreuzprodukt Spatprodukt Abstand Punkt zu Gerade Abstand paralleler Geraden
Normalenform ([x, y, z] - [0, 2, -1]) * [-12, -11, -5] = 0 Umwandlung über 3 Punkt in Parameterform P * [-12, -11, -5] = 0 --> P ist z. B. [0, 5, -11], [5, 0, -12], [11, -12, 0] X - [0, 2, -1] = P --> X = [0, 7, -12], [5, 2, -13], [11, -10, -1] E: X = [0, 7, -12] + r * [5, -5, -1] + s * [11, -17, 11] Koordinatenform über ausmultiplizieren ([x, y, z] - [0, 2, -1]) * [-12, -11, -5] = 0 --> ([x, y, z] - [0, 2, -1]) * [12, 11, 5] = 0 [x, y, z] * [12, 11, 5] = [0, 2, -1] * [12, 11, 5] 12x + 11y + 5z = 17 Diese Ebenen sind identisch, sehen jedoch in Geoknecht durch die Perspektive nicht parallel aus, weil die Stücke verschiedene Ausschnitte aus der selben Ebene sind.
Folglich gilt: $$ {\color{red}4}x_1 + {\color{red}3}x_2 - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{n} = \begin{pmatrix} {\color{red}4} \\ {\color{red}3} \end{pmatrix} $$ Beliebigen Aufpunkt $\vec{a}$ berechnen Als Aufpunkt können wir jeden beliebigen Punkt auf der Gerade verwenden. Punkte, die auf der Gerade liegen, haben die Eigenschaft, dass sie die Koordinatengleichung $4x_1 + 3x_2 - 5 = 0$ erfüllen. Wenn wir z. B. für $x_2$ gleich $1$ einsetzen $$ 4x_1 + 3 \cdot 1 - 5 = 0 $$ $$ 4x_1 + 3 - 5 = 0 $$ $$ 4x_1 - 2 = 0 $$ und die Gleichung anschließend nach $x_1$ auflösen, erhalten wir $$ 4x_1 - 2 = 0 \quad |+2 $$ $$ 4x_1 = 2 \quad |:4 $$ $$ x_1 = 0{, }5 $$ Der Punkt $(0{, }5|1)$ liegt folglich auf der Gerade. Diesen können wir als Aufpunkt hernehmen: $$ \vec{a} = \begin{pmatrix} 0{, }5 \\ 1 \end{pmatrix} $$ $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die Normalenform einsetzen $$ g\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0{, }5 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0 $$
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