In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Kürzen von Brüchen. Erforderliches Vorwissen Was ist ein Bruch? Einordnung Eine Torte wird in acht gleich große Teile geteilt. Jedes Stück hat dann eine Größe von einem Achtel ( $\frac{1}{8}$) der Torte. Es kommen vier Gäste, von denen jeder 2 Stück Torte (= $\frac{2}{8}$) isst. Wenn man je zwei Stücke der obigen Torte zusammenklebt, müsste jeder Gast nur noch ein Stück (= $\frac{1}{4}$) essen, um auf dieselbe Menge zu kommen wie oben. Offenbar gilt: $$ \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $$ Das Umformen von $\frac{2}{8}$ zu $\frac{1}{4}$ bezeichnet man als Kürzen. Kürzen heißt, die Einteilung oder Stückelung eines Bruches zu vergröbern. Die Einteilung wird in unserem Beispiel von 8 kleinen auf 4 große Stücke vergröbert. Satz Jeder Bruch steht für eine bestimmte Zahl, die der Wert des Bruchs genannt wird. Brüche - kürzen und erweitern - Mathematikaufgaben und Übungen | Mathegym. Beispiel 1 $$ \frac{1}{4} = 0{, }25 $$ Zu jedem Bruch gibt es unendlich viele weitere Brüche mit demselben Wert. Beispiel 2 $$ \frac{1}{4} = 0{, }25 $$ $$ \frac{1 \cdot {\color{red}2}}{4 \cdot {\color{red}2}} = \frac{2}{8} = 0{, }25 $$ $$ \frac{1 \cdot {\color{red}3}}{4 \cdot {\color{red}3}} = \frac{3}{12} = 0{, }25 $$ $$ \frac{1 \cdot {\color{red}4}}{4 \cdot {\color{red}4}} = \frac{4}{16} = 0{, }25 $$ … Aus dem Kapitel Brüche erweitern wissen wir bereits, dass gilt: Umgekehrt gilt: Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Kürzungszahl.
Beispiel Beispiel 3 Kürze $\frac{6}{9}$ mit $3$. Zähler und Nenner durch $3$ dividieren $$ \frac{6: {\color{red}3}}{9: {\color{red}3}} = \frac{2}{3} $$ Brüche vollständig kürzen Das Ziel beim Kürzen ist meistens, den Bruch in eine Form zu bringen, in der sich der Bruch nicht mehr weiter kürzen lässt. Das ist genau dann der Fall, wenn es keinen gemeinsamen Teiler (größer als $1$) von Zähler und Nenner gibt. Beispiel 4 Wir kürzen den Bruch $\frac{18}{27}$ mit der Kürzungszahl $3$ auf $\frac{6}{9}$. Brüche kürzen aufgaben 6 klasse. Der Bruch $\frac{6}{9}$ ist nicht vollständig gekürzt, da Zähler und Nenner noch durch $3$ dividiert werden können. Beispiel 5 Wir kürzen den Bruch $\frac{18}{27}$ mit der Kürzungszahl $9$ auf $\frac{2}{3}$. Der Bruch $\frac{2}{3}$ ist vollständig gekürzt, da Zähler und Nenner (außer $1$) keinen gemeinsamen Teiler besitzen. Um einen Bruch vollständig zu kürzen, muss man den Bruch mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) des Zählers und des Nenners kürzen: zu 1) Zunächst zerlegen wir den Zähler und den Nenner des Bruchs in Faktoren.
Diesen Vorgang bezeichnet man auch als Faktorisieren. Das Faktorisieren von Brüchen, deren Zähler und Nenner lediglich aus Zahlen bestehen, erfolgt mittels Primfaktorzerlegung. zu 2) Alle Faktoren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben, dürfen wir streichen (kürzen). Bruchrechnen verständlich erklärt. Beispiel 6 $$ \frac{2}{6} =\frac{2}{2 \cdot 3} =\frac{\bcancel{2}}{\bcancel{2} \cdot 3} = \frac{1}{3} $$ Beispiel 7 $$ \frac{8}{12} =\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 3} =\frac{\bcancel{2} \cdot\bcancel{2} \cdot 2}{\bcancel{2} \cdot\bcancel{2} \cdot 3} = \frac{2}{3} $$ Beispiel 8 $$ \frac{18}{27} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{2 \cdot \bcancel{3} \cdot \bcancel{3}}{3 \cdot \bcancel{3} \cdot \bcancel{3}} = \frac{2}{3} $$ Wie man Brüche kürzt, in denen Variablen vorkommen, erfährst du im Kapitel Bruchterme kürzen. Du wirst sehen, dass die Vorgehensweise (fast) genau die gleiche ist. Online-Rechner Brüche online kürzen Zurück Vorheriges Kapitel Weiter Nächstes Kapitel
Wenn im Zähler und Nenner eines Bruches gemeinsame Faktoren enthalten sind, so kann man den Bruch kürzen. Bei dem folgenden Beispiel steckt die 3 sowohl im Zähler, als auch im Nenner und kann entsprechend gekürzt werden. Bei dem folgenden Term kann man a kürzen. (Wichtig ist, dass das a aus allen Termen die im Zähler mit + oder - verbunden sind gekürzt wird. Brüche kürzen aufgaben mit lösungen pdf. ) Das Gegenteil vom Kürzen ist das Erweitern. Hierbei werden Zähler und Nenner mit einem bestimmten Faktor multipliziert (mal genommen): Zwei Brüche werden miteinander multipliziert (mal genommen), indem man jeweils die Werte im Zähler und die Wert im Nenner miteinander multipliziert: Ein Bruch wird durch einen anderen Bruch dividiert (geteilt), indem man ihn mit dem Kehrwert des anderen Bruches multipliziert (mal nimmt). Es wurde bei der Darstellung zusätzlich verdeutlicht, dass man das Teilen durch einen Bruch auch wieder mittels eines Bruchstriches darstellen kann. Zwei Brüche werden addiert (zusammen gezählt), indem man sie zunächst auf einen gemeinsamen Nenner (den Hauptnenner) bringt.
Aus 5: 7 wird 7: 5. Aus dem Zeichen für die Division wird ein Zeichen der Multiplikation. So wie man Brüche mutliplizieren kann löst man diese Aufgabe nun. Zähler wird dabei mit Zähler multipliziert und Nenner wird mit Nenner multipliziert. Wir erhalten 2 · 7 = 14 und 3 · 5 = 15. Hinweis: Vorgehensweise Brüche dividieren: Der erste Bruch bleibt stehen. Beim zweiten Bruch werden Zähler und Nenner vertauscht. Aus dem Geteiltzeichen wird ein Multiplikationszeichen. Danach wird Zähler mit Zähler multipliziert. Nenner wird mit Nenner multipliziert. In manchen Fällen kann das Ergebnis gekürzt werden. Brüche kürzen | Mathebibel. Hinweis: Das Vertauschen von Zähler und Nenner bezeichnet man auch als "Kehrwert vom Bruch". Bevor wir zu weiteren Beispielen kommen noch die allgemeine Schreibweise zur Division von Brüchen. Anzeige: Beispiele Division Brüche In diesem Abschnitt sehen wir uns weitere Beispiele zur Division mit Brüchen an. Dabei werfen wir einen Blick auf negative Zahlen und Kommazahlen sowie gemischte Zahlen und Textaufgaben zur Division von Brüchen.
Dieses erreicht man, indem man die Brüche jeweils mit geeigneten Faktoren erweitert. Man kann z. B. jeweils mit dem Nenner des anderen Bruches erweitern. Brüche erweitern und kürzen aufgaben. Als Formel ergibt sich in diesem Fall: Beim Subtrahieren (Abziehen) eines Bruches von einem anderen geht man prinzipiell genauso vor: Wenn die Nenner der Brüche (b und d) geinsame Faktoren enthalten, so braucht man nur mit den anderen Faktoren der Nenner zu erweitern. Man muss bierbei das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner bestimmen. Dieses ist der Hauptnenner. Ein Bruch ist genau dann gleich Null, wenn der Zähler Null und der Nenner ungleich Null ist:
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